Cycles combinatoires et géométriques

Combinatorial and geometric cycles

• Auteur / Autrice : Zeina Ghazo Hanna
• Direction : Paul Baird, Ali Fardoun, Amine El Sahili
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 31/01/2020
• Etablissement(s) : Brest en cotutelle avec Université Libanaise
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Bretagne Atlantique (Brest ; Vannes ; 2004-....) - Laboratoire de mathématiques et applications (Tripoli, Liban)
• Jury : Président / Présidente : Gilles Burel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Paul Baird, Ali Fardoun, Amine El Sahili, Gilles Burel, Maurice Pouzet, Laurent Najman, Hassane Abbas, Maidoun Mortada
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Maurice Pouzet, Laurent Najman
• DOI : 10.70675/7a6a94bbz9f21z46e5zbf29zfe25adbfcbef

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse combinatoire

Chemins et cycles (théorie des graphes)

Graphes hamiltoniens

Mots clés libres

Tournois

Chemins et cycles Hamiltoniens

Équation à différence quadratique

Séquences cycliques quadratiques

Polynômes cyclotomiques

Marches dans le plan

Tournaments

Hamiltonian paths and cycles

Quadratic difference equation

Quadratic cyclic sequences

Cyclotomic polynomials

Walks in the plane

Résumé

Le travail de cette thèse se situe dans les domaines de la théorie combinatoire des graphes, la combinatoire algébrique et la géométrie discrète. D'un part, il concerne l'énumération des chemins et cycles Hamiltoniens de type donné dans un tournoi ; de l'autre part, il étudie des suites numériques vérifiant une équation à différence quadratique. Parmi les résultats obtenus dans la première partie, on trouve : une égalité entre le nombre des chemins (resp. cycles) Hamiltoniens d’un type donné dans un tournoi et dans son complément; une expression du nombre de chemins Hamiltoniens d’un type donné pour un tournoi transitif en termes d'une fonction récursive F appelée « path-function »; la construction d'un algorithme pour le calcul de F. L'objet fondamental dans la deuxième partie est un graphe cyclique muni d'une solution d'une équation à différence quadratique. Un paramètre de cette équation distingue les solutions réelles et les solutions complexes. Une correspondance entre les solutions réelles et une classe de polynômes à coefficients entiers positifs est établie. Pour compléter la correspondance, les digraphes Eulériens à un pas interviennent. Une solution complexe détermine une marche fermée dans le plan pour laquelle à chaque pas on tourne à gauche ou à droite par un angle constant (l'angle tournant). Cette fois-ci les polynômes cyclotomiques jouent un rôle important. La caractérisation des polynômes qui déterminent de telles suites est un problème qu’on surmonte afin d'élucider des propriétés géométriques de tels cycles polygonaux. Notamment, lorsque la marche exploite les côtés d'un polygone régulier avec angle extérieur 2π/n, on trouve des phénomènes non anticipés lorsque n≥12.

The work in this thesis concerns the combinatorial theory of graphs, algebraic combinatorics and discrete geometry. On one side, it is about enumerating Hamiltonian paths and cycles of a given type in a tournament; On the other side, it studies numerical sequences verifying a quadratic difference equation.Concerning the results of the first part, we find: an equality between the number of Hamiltonians paths (resp. cycles) of a given type, in a tournament and its complement; an expression of the number of Hamiltonian oriented paths of a given type in a transitive tournament in terms of a recursive function F called the « path-function »; and the construction of an algorithm to compute F.In the second part of the work, we study cyclic graphs altogether with a solution to a quadratic difference equation.A parameter of this equation distinguishes real and complex sequences. A correspondence between real solutions and a class of polynomials with positive integer coefficients is established. To complete the correspondence, 1-step Eulerian digraphs interfere. A complex solution determines a closed planar walk in the plane, for which at each step we turn either left or right by a constant angle (the turning angle). This time, cyclotomic polynomials play a major role. Characterizing polynomials that determine such a solution is a problem that we study to the end of finding geometric properties of such polygonal cycles.When the walk exploits the sides of a regular polygon with exterior angle 2 π/n, we find unexpected phenomena when n≥ 12.