Lissage et compensation : une version explicite du crible de Barban-Vehov

Smoothing and cancellation : the Barban-Vehov sieve made explicit

• Auteur / Autrice : Sebastian Zuniga Alterman
• Direction : Harald Andrés Helfgott, Marc Hindry
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Théorie des nombres
• Date : Soutenance le 02/12/2019
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Olivier Ramaré
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Harald Andrés Helfgott, Marc Hindry, Olivier Ramaré, Timothy Trudgian, Régis Du Moulin de la Bretèche
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Cécile Dartyge, Timothy Trudgian

Mots clés

Mots clés contrôlés

Selberg, Formule de trace de

Cribles (mathématiques)

Théorie des nombres

Mots clés libres

Mathématiques pures

Compensation et lissage

Crible de Selberg

Crible de Barban-Vehov

Pure Mathematics

Smoothing and cancellation

Selberg sieve

Crible de Barban-Vehov sieve

Résumé

Considérons la somme du type crible de Selberg ∑m≤X(∑d|m μ(d)·ρd)2, où d→ρd est un poids pour la somme ∑d|nμ(d). On étudie les poids logarithmiques et ceux de Barban-Vehov, définis respectivement comme L:d→log+(U/d), U>1, V:d→log+(U1/d)−log+(U0/d), 1≤U0<U1, où log+(x)= max{log(x),0}. V et L furent étudiés par Barban et Vehov (1968) et Motohashi (1974); une formule asymptotique non-explicite de premier ordre pour la somme de Selberg correspondante à ces poids fut obtenue dans les années 70 par Graham, en montrant, lorsqu’on se ramène à L, un terme d’ordre principal identique à celui du crible de Selberg. Le problème d’étudier la formule asymptotique des sommes de Selberg pour L et V de façon explicite ainsi que l’obtention des termes d’ordre secondaire est resté ouvert et on avait conjecturé que ces termes secondaires étaient en effet négatifs, de manière telle qu’on trouve une contribution négative pour le crible. Dans cette thèse, en utilisant des nouvelles techniques et quelques idées de H. Helfgott et O.Ramaré, nous obtenons explicitement, et sous toutes conditions de coprimalité, le terme d’ordre secondaire pour les expressions asymptotiques données par L et V, lesquelles, dans le cas d'intérêt, v ∈ {1, 2}, confirment sa nature conjecturée: il s’agit de termes négatifs. Étant un objet très proche à ces poids, on découvre aussi que ∑d,e,(de,v)=1 μ(d)μ(e)/[d,e] · LdLe ~ v/φ(v) · log(U) - sv,où s1 = 0.607…, s2 = 1.472… . Le fait d’avoir une erreur explicite et un terme secondaire négatif permet une transition, sous quelques conditions modérées, d’un résultat purement asymptotique à une vraie inégalité, entrouvant donc compensation par rapport au terme principal. Nous en déduisons ainsi un résultat explicit du type crible, en donnant un rang infini et ample de valeurs U0, U1 telles que ∑m≤X( ∑d|mμ(d)·Vd / log(U1/U0))2< X / log(U1/U0) - cv · X / log2(U1/U0), pour une constante positive cv explicitement définie.

Consider the Selberg sieve type sum ∑m≤X(∑d|m μ(d)·ρd)2, where d→ρd is a weight for the sum∑d|nμ(d). We study the logarithmic and Barban-Vehov weights, defined, respectively, as L:d→log+(U/d), U>1, V:d→log+(U1/d)−log+(U0/d), 1≤U0<U1, where log+(x) = max{log(x),0}. V and L were studied by Barban and Vehov (1968) and Motohashi (1974); a first order nonexplicit asymptotic formula for the Selberg sum for those weights was derived in the 70’s byGraham, giving, when using L, a main term identical to the one given by Selberg sieve. The problem of studying explicitly the asymptotic formula of the Selberg sum for L and V andits secondary terms remained open and it was conjectured that those secondary terms were negative, so that we have a negative contribution for the sieve. In this thesis, by using new techniques and some ideas given by H. Helfgott and O. Ramaré,we explicitly obtain, for all coprimality conditions, the second order term of the asymptotic expressions for L and V, which, in the case of interest, v ∈ {1, 2}, confirm their conjectural nature:they are negative. As a closely related object to those weights, we obtain ∑d,e,(de,v)=1 μ(d)μ(e)/[d,e] · LdLe ~ v/φ(v) · log(U) - sv, where s1 = 0.607…, s2 = 1.472… . The fact of having an explicit error term and a negative second order term allows a transition,under mild conditions, from a purely asymptotic result to an actual inequality, finding thus cancellation with respect to the main term. We thus derive an explicit sieve-type result, providingan infinite and wide range of values U0, U1 such that ∑m≤X( ∑d|m μ(d)·Vd / log(U1/U0))2< X /log(U1/U0) - cv · X / log2(U1/U0), for some positive explicitly defined constant cv