functional and harmonic analysis of noncommutative Lp spaces associated to compact quantum groups

par Xumin Wang

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Quanhua Xu et de Uwe Franz.

Soutenue le 04-10-2019

à Bourgogne Franche-Comté , dans le cadre de Carnot Pasteur , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) (laboratoire) , Université de Franche-Comté (Etablissement de préparation) et de Laboratoire de Mathématiques de Besançon (UMR 6623) / LMB (laboratoire) .

Le président du jury était Roland Speicher.

Le jury était composé de Quanhua Xu, Uwe Franz, Roland Speicher, Kenny Commer, Adam Skalski, Pierre Fima.

Les rapporteurs étaient Roland Speicher, Kenny Commer.

  • Titre traduit

    Analyse fonctionnelle et harmonique des espaces Lp non-commutatifs associés aux groupes quantiques compacts


  • Résumé

    Cette thèse a pour but d'étudier l'analyse sur les groupes quantiques compacts. Elle se compose de deux parties. La première présente la classification des semi-groupes de Markov invariants sur ces espaces homogènes quantiques. Les générateurs de ces semi-groupes sont considérés comme des opérateurs de Laplace sur ces espaces.La sphère classique , la sphère libre et la sphère semi-libérée sont considérées comme des exemples et les générateurs de semi-groupes de Markov sur ces sphères sont classés. Nous calculons aussi les dimensions spectrales des trois familles de sphères en fonction du comportement asymptotique des valeurs propres de leur opérateur de Laplace.Dans la deuxième partie, nous étudions la convergence des séries de Fourier pour les groupes non abéliens et les groupes quantiques. Il est bien connu qu'un certain nombre de propriétés d'approximation de groupes peuvent être interprétées comme des méthodes de sommation et de convergence moyenne de séries de Fourier non commutatives associées. Nous établissons un critère général d'inégalités maximales pour les identités approximatives de multiplicateurs non commutatifs de Fourier. En conséquence, nous prouvons que pour tout groupe dénombrable discret moyennable, il existe une suite de fonctions définies positives à support fini, telle que les multiplicateurs de Fourier associés sur les espaces Lp non commutatifs satisfassent à la convergence ponctuelle. Nos résultats s'appliquent également à la convergence presque partout des séries de Fourier de fonctions Lp sur des groupes compacts non-abéliens. D'autre part, nous obtenons des bornes indépendantes de la dimension pour les inégalités maximales de Hardy-Littlewood non commutatives dans l'espace à valeurs opérateurs associées à des corps convexes.


  • Résumé

    This thesis is devoted to studying the analysis on compact quantum groups. It consists of two parts. First part presents the classification of invariant quantum Markov semigroups on these quantum homogeneous spaces. The generators of these semigroups are viewed as Laplace operators on these spaces.The classical sphere, the free sphere, and the half-liberated sphere are considered as examples and the generators of Markov semigroups on these spheres are classified. We compute spectral dimensions for the three families of spheres based on the asymptotic behavior of the eigenvalues of their Laplace operator.In the second part, we study of convergence of Fourier series for non-abelian groups and quantum groups. It is well-known that a number of approximation properties of groups can be interpreted as some summation methods and mean convergence of associated noncommutative Fourier series. We establish a general criterion of maximal inequalities for approximative identities of noncommutative Fourier multipliers. As a result, we prove that for any countable discrete amenable group, there exists a sequence of finitely supported positive definite functions, so that the associated Fourier multipliers on noncommutative Lp-spaces satisfy the pointwise convergence. Our results also apply to the almost everywhere convergence of Fourier series of Lp-functions on non-abelian compact groups. On the other hand, we obtain the dimension free bounds of noncommutative Hardy-Littlewood maximal inequalities in the operator-valued Lp space associated with convex bodies.


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