Surfaces à courbure moyenne constante dans les espaces euclidien et hyperbolique

Constant mean curvature surfaces in euclidean and hyperbolic spaces

• Auteur / Autrice : Thomas Raujouan
• Direction : Martin Traizet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 19/09/2019
• Etablissement(s) : Tours
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Denis Poisson (Orléans, Tours ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Frédéric Hélein
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laurent Hauswirth, Sebastian Heller, Laurent Mazet
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Martin Kilian

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes dynamiques hyperboliques

Surfaces minimales

Weierstrass, Points de

Géométrie hyperbolique

Géométrie euclidienne

Surfaces à courbure constante

Mots clés libres

Représentation de Weierstrass généralisée

Bouts Delaunay

Géométrie hyperbolique

Méthode DPW

DPW Method

Generalized Weierstrass Representation

Delaunay Ends

Hyperbolic Geometry

Résumé

Les surfaces à courbure moyenne constante non-nulle apparaissent en physique comme solutions à certains problèmes d'interface entre deux milieux de pressions différentes. Elles sont décrites mathématiquement par des équations aux dérivées partielles et sont constructibles à partir de données holomorphes via une représentation similaire à celle de Weierstrass pour les surfaces minimales. On présente dans cette thèse deux résultats s'appuyantsur cette représentation, dite <<méthode DPW>>.Le premier indique que les données donnant naissance à un bout Delaunay de type onduloïde induisent encore un anneau plongé après perturbation.Cette propriété sert notamment à démontrer que certaines surfaces construites par la méthode DPW sont plongées. Le second résultat est la construction, dans l'espace hyperbolique, de n-noïdes : surfaces plongées, de genre zéro, à courbure moyenne constante et munies de n bouts de type Delaunay.

Non-zero constant mean curvature surfaces are mathematical models for physical interface problems with non-zero pressure difference. They are described by partial differential equations and can be constructed from holomorphic data via a Weierstrass-type representation, called "the DPW method". In this thesis, we use the DPW method and prove two main results. The first one states that perturbations of the DPW data for Delaunay unduloidal ends generate embedded annuli. This can be used to prove the embeddedness of surfaces constructed via the DPW method. The second result is the construction of n-noids in Hyperbolic space: genus 0, embedded, constant mean curvature surfaces with n Delaunay ends.