Méthode des Éléments Virtuels pour le calcul de la déformation mécanique couplée aux écoulements en milieux poreux

par Julien Coulet

Thèse de doctorat en Mathématiques appliqués

Sous la direction de Frédéric Nataf et de Vivette Girault.

Soutenue le 13-11-2019

à Sorbonne université , dans le cadre de École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris) , en partenariat avec Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris) (laboratoire) .

Le président du jury était Frédéric Hecht.

Le jury était composé de Isabelle Faille, Nicolas Guy.

Les rapporteurs étaient Grégoire Allaire, Jérôme Droniou.


  • Résumé

    Cette thèse porte sur le développement et l’étude de méthodes numériques pour le problème de poroélasticité, modélisé par les équations de Biot. La discrétisation historique de ce système consiste à utiliser une méthode de type éléments finis pour traiter l’équation d’équilibre mécanique, et une méthode de type volumes finis pour traiter l’équation de conservation de la masse du fluide. Or, en géosciences, les procédures de maillage utilisées pour reproduire les propriétés géométriques des milieux telles que les hétérogénéités, discontinuités ou failles produisent des cellules incompatibles avec la discrétisation par éléments finis. En conséquence, on s’intéresse à la récente méthode des éléments virtuels qui paraît capable de traiter des maillages plus généraux, et qui permettrait donc l’utilisation d’un unique maillage pour les deux modélisations. Après avoir appliqué la méthode des éléments virtuels au problème d’élasticité, on effectue le couplage avec l'écoulement discrétisé par volumes finis. Selon l’approximation choisie pour cette méthode, deux schémas sont créés : le schéma VEM-TPFA, qui utilise l'approximation volumes finis la plus simple et permet d'en proposer une analyse mathématique, et le schéma VEM-MPFA qui se base sur une approximation plus complète de manière à traiter des maillages plus généraux. En plus de la discrétisation, on s’intéresse à la stratégie de résolution du problème couplé dans le but d’en améliorer l’efficacité et la robustesse, en particulier en parallèle. On considère ainsi la stratégie fixed-stress split qui permet de se ramener à la résolution de deux sous-problèmes, pour lesquels on exhibe des solveurs performants.

  • Titre traduit

    Coupling Virtual Element Methods and finite volume schemes for computational geomechanics


  • Résumé

    This manuscript focuses on the design and the study of numerical schemes for the poroelasticity problem modeled through Biot’s equations. The classical way to numerically solve this system is to use a finite element method for the mechanical equilibrium equation and a finite volume method for the fluid mass conservation equation. However, to capture specific properties of the underground medium such as heterogeneities, discontinuities, and faults, meshing procedures commonly lead to badly shaped cells for finite element-based modeling. Consequently, we investigate the use of the recent virtual element method which appears as a potential discretization method for the mechanical part and could therefore allow the use of a unique mesh for both the mechanical and fluid flow modeling. Starting from a first insight into virtual element method applied to the elastic problem in the context of geomechanical simulations, we apply in addition a finite volume method to take care of the fluid conservation equation. Depending on the selected finite volume method, we create two different coupled schemes: the VEM-TPFA scheme, using a two-point flux approximation for the fluid flow and for which we provide a mathematical analysis, and the VEM-MPFA scheme, which uses a multipoint flux approximation and can thus handle more general meshes. In addition to the discretization, we also investigate the way to solve the coupled problem in order to improve efficiency and robustness in the context of parallel computing. For this purpose, we consider the fixed-stress split strategy in order to fall back to the resolution of two subproblems for which we can use efficient solvers.


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