Formules d'Itô pour l'équation de la chaleur stochastique à travers les théories des chemins rugueux et des structures de regularité

Itô formulae for the stochastic heat equation via the theories of regularity structure and rough paths

• Auteur / Autrice : Carlo Bellingeri
• Direction : Lorenzo Zambotti
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 12/07/2019
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Thierry Lévy
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Paul Gassiat, Cyril Labbé, Frédéric Patras
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Antoine Lejay

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus stochastiques

Équations aux dérivées partielles stochastiques

Intégrales d'Itô

Mots clés libres

Formule d'Itô

Équations aux dérivées partielles stochastiques

Structures de régularité

Chemins rugueux

Algèbres quasi-Shuffle

Calcul stochastique

Itô formula

Stochastic partial differential equations

Regularity structures

Rough paths

Quasi-shuffle algebras

Stochastic Calculation

Résumé

Dans cette thèse nous développons une théorie générale pour prouver l’existence de plusieurs formules de Itô sur l’équation de chaleur stochastique unidimensionnelle dirigée par un bruit blanc en espace-temps. Cela revient a définir de nouvelles notions d’intégrales stochastique sur u, la solution de cette EDPS et à obtenir pour toute fonction assez lisse f des nouvelles identités impliquant f(u) et des termes de correction non triviaux. Ces nouvelles relations sont obtenues en utilisant la théorie des structures de régularité et la théorie des chemins rugueux. Dans le premier chapitre nous obtenons une identité intégrale et une différentielle impliquant la reconstruction de certaines distributions modélisées. Ensuite, nous discutons d’une formule générale de changement de variable pour tout chemins Hölderiens dans le contexte des chemins rugueux en le rapportant à la notion d’algèbres quasi-shuffle et à la famille des chemins rugueux dits quasi-géométriques. Enfin nous appliquons les résultats généraux sur les chemins rugueux quasi-géométriques à l’évolution temporelle du processus u. En utilisant le comportement gaussien de u, nous identifions la plupart des termes impliqués dans ces équations avec certaines constructions du calcul stochastique.

In this thesis we develop a general theory to prove the existence of several Itô formulae on the one dimensional stochastic heat equation driven by additive space-time white noise. That is denoting by u the solution of this SPDE for any smooth enough function f we define some new notions of stochastic integrals defined upon u, which cannot be defined classically, in order to deduce new identities involving f(u) and some non trivial corrections. These new relations are obtained by using the theory of regularity structures and the theory of rough paths. In the first chapter we obtain a differential and an integral identity involving the reconstruction of some modelled distributions. Then we discuss a general change of variable formula over any Hölder continuous path in the context of rough paths, relating it to the notion of quasi-shuffle algebras and the family of so called quasi-geometric rough paths. Finally we apply the general results on quasi-geometric rough paths to the time evolution of u. Using the Gaussian behaviour of the process u, most of the terms involved in these equations are also identified with some classical constructions of stochastic calculus.