Global optimization of polynomial programs with mixed-integer variables

par Arnaud Lazare

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Sourour Elloumi.

Le président du jury était Yves Crama.

Le jury était composé de Amélie Lambert, Dominique Quadri, Alain Billionnet.

Les rapporteurs étaient François Clautiaux, Christoph Buchheim.

  • Titre traduit

    Optimisation globale de programmes polynomiaux en variables mixtes-entières


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude des programmes polynomiaux, c'est à dire les problème d'optimisation dont la fonction objectif et/ou les contraintes font intervenir des polynômes de plusieurs variables. Ces problèmes ont de nombreuses applications pratiques et constituent actuellement un champ de recherche très actif. Différentes méthodes permettent de les résoudre de façon exacte ou approchée, en utilisant par exemple des relaxationssemidéfinies positives du type "moments-somme de carrés". Mais ces problèmes restent très difficiles et on ne sait résoudre en toute généralité que des instances de petite taille.Dans le cas quadratique, une approche de résolution exacte efficace a été initialement proposée à travers la méthode QCR. Elle se base sur une reformulation quadratique convexe "optimale" au sens de la borne par relaxation continue.Une des motivations de cette thèse est de généraliser cette approche pour le cas des problèmes polynomiaux. Dans la majeure partie de ce manuscrit, nous étudions les problèmes d'optimisation en variables binaires. Nous proposons deux familles de reformulations convexes pour ces problèmes: des reformulations "directes" et des reformulations passant par la quadratisation.Pour les reformulations directes, nous nous intéressons tout d'abord aux linéarisations. Nous introduisons le concept de q-linéarisation, une linéarisation utilisant q variables additionnelles, et comparons les bornes obtenues par relaxation continue pour différentes valeurs de q. Ensuite, nous appliquons la reformulation convexe au problème polynomial, en ajoutant des termes supplémentaires à la fonction objectif, mais sans ajouter de variables ou de contraintes additionnelles.La deuxième famille de reformulations convexes vise à étendre la reformulation quadratique convexe au cas polynomial. Nous proposons plusieurs nouvelles reformulations alternatives que nous comparons aux méthodes existantes sur des instances de la littérature. En particulier nous présentons l'algorithme PQCR pour résoudre des problèmes polynomiaux binaires sans contrainte. La méthode PQCR permet de résoudre des instances jusqu'ici non résolues. En plus des expérimentations numériques, nous proposons aussi une étude théorique visant à comparer les différentes reformulations quadratiques de la littérature puis à leur appliquer une reformulation convexe.Enfin nous considérons des cas plus généraux et nous proposons une méthode permettant de calculer des relaxations convexes pour des problèmes continus.


  • Résumé

    In this thesis, we are interested in the study of polynomial programs, that is optimization problems for which the objective function and/or the constraints are expressed by multivariate polynomials. These problems have many practical applications and are currently actively studied. Different methods can be used to find either a global or a heuristic solution, using for instance, positive semi-definite relaxations as in the "Moment/Sum of squares" method. But these problems remain very difficult and only small instances are addressed. In the quadratic case, an effective exact solution approach was initially proposed in the QCR method. It is based on a quadratic convex reformulation, which is optimal in terms of continuous relaxation bound.One of the motivations of this thesis is to generalize this approach to the case of polynomial programs. In most of this manuscript, we study optimization problems with binary variables. We propose two families of convex reformulations for these problems: "direct" reformulations and quadratic ones.For direct reformulations, we first focus on linearizations. We introduce the concept of q-linearization, that is a linearization using q additional variables, and we compare the bounds obtained by continuous relaxation for different values of q. Then, we apply convex reformulation to the polynomial problem, by adding additional terms to the objective function, but without adding additional variables or constraints.The second family of convex reformulations aims at extending quadratic convex reformulation to the polynomial case. We propose several new alternative reformulations that we compare to existing methods on instances of the literature. In particular we present the algorithm PQCR to solve unconstrained binary polynomial problems. The PQCR method is able to solve several unsolved instances. In addition to numerical experiments, we also propose a theoretical study to compare the different quadratic reformulations of the literature and then apply a convex reformulation to them.Finally, we consider more general problems and we propose a method to compute convex relaxations for continuous problems.


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