Contrôle adiabatique des systèmes quantiques

par Nicolas Augier

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Ugo Boscain et de Mario Sigalotti.

Soutenue le 27-09-2019

à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....) , en partenariat avec École polytechnique (Palaiseau, Essonne) (établissement opérateur d'inscription) et de Centre de mathématiques appliquées-CMAP [Palaiseau, Essonne] (laboratoire) .


  • Résumé

    Le but principal de la thèse est d'étudier les liens entre les singularités du spectre d'un Hamiltonien quantique contrôlé et les questions de contrôlabilité de l'équation Schr"odinger associée.La principale question qui se pose est de savoir comment contrôler une famille de systèmes quantiques dépendant des paramètres avec une entrée de commande commune. Ce problème de contrôlabilité d'ensemble est lié à la conception d'une stratégie de contrôle robuste lorsqu'un paramètre (une fréquence de résonance ou une inhomogénéité de champ de contrôle par exemple) est inconnu, et constitue un enjeu important pour les expérimentateurs.Grâce à l'étude des familles à un paramètre de Hamiltoniens et de leurs singularités génériques, nous donnons une stratégie de contrôle explicite pour le problème de contrôlabilité d'ensemble lorsque les conditions géométriques sur le spectre des Hamiltoniens sont satisfaites. Le résultat est basé sur la théorie de l'approximation adiabatique et sur la présence de courbes d'intersections coniques de valeurs propres du Hamiltonien contrôlé. La technique proposée fonctionne pour des systèmes évoluant à la fois dans des espaces de Hilbert de dimension finie et de dimension infinie. Nous étudions ensuite le problème de la contrôlabilité d'ensemble sous des hypothèses moins restrictives sur le spectre, à savoir la présence de singularités non-coniques. Sous des conditions génériques, de telles singularités n'apparaissent pas pour des systèmes uniques, mais apparaissent pour des familles de systèmes à un paramètre.Pour l'étude d'un système unique, nous nous concentrons sur une classe de courbes dans l'espace des contrôles, appelées les courbes non-mixantes (définies dans cite{Bos}), qui peuvent optimiser la dynamique adiabatique près des intersections coniques et non coniques. Elles sont liées à la géométrie des espaces propres du Hamiltonien contrôlé et l'approximation adiabatique possède une meilleure précision le long de celles-ci.Nous proposons d'étudier la compatibilité de l'approximation adiabatique avec la Rotating Wave Approximation. De telles approximations sont généralement combinées par les physiciens. Mon travail montre que cela ne se justifie pour les systèmes quantiques à dimensions finies que dans certaines conditions sur les échelles de temps. Nous étudions également les questions de contrôle d'ensemble dans ce cas.

  • Titre traduit

    Adiabatic control of quantum systems


  • Résumé

    The main purpose of the thesis is to study the links between the singularities of the spectrum of a controlled quantum Hamiltonian and the controllability issues of the associated Schr"odinger equation.The principal issue that is developed is how to control a parameter-dependent family of quantum systems with a common control input. This problem of ensemble controllability is linked to the design of a robust control strategy when a parameter (a resonance frequency or a control field inhomogeneity for instance) is unknown, and is an important issue for experimentalists.Thanks to the study one-parametric families of Hamiltonians and their generic singularities, we give an explicit control strategy for the ensemble controllability problem when geometric conditions on the spectrum of the Hamiltonian are satisfied. The result is based on adiabatic approximation theory and on the presence of curves of conical eigenvalue intersections of the controlled Hamiltonian. The proposed technique works for systems evolving both in finite-dimensional and infinite-dimensional Hilbert spaces. Then we study the problem of ensemble controllability under less restrictive hypotheses on the spectrum, namely the presence of non-conical singularities. Under generic conditions such non-conical singularities are not present for single systems, but appear for one-parametric families of systems.For the study of a single system, we focus on a class of curves in the space of controls, called the non-mixing curves (defined in cite{Bos}), that can optimize the adiabatic dynamics near conical and non-conical intersections. They are linked to the geometry of the eigenspaces of the controlled Hamiltonian and the adiabatic approximation holds with higher precision along them.We propose to study the compatibility of the adiabatic approximation with the rotating wave approximation. Such approximations are usually done in cascade by physicists. My work shows that this is justified for finite dimensional quantum systems only under certain conditions on the time scales. We also study ensemble control issues in this case.


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