Équations aux dérivées partielles de type Keller-Segel en dynamique des populations et de type Fokker-Planck en neurosciences

par Pierre Roux

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Danielle Hilhorst et de Delphine Salort.

Soutenue le 06-12-2019

à l'Université Paris-Saclay (ComUE) , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....) , en partenariat avec Université Paris-Sud (1970-2019) (établissement opérateur d'inscription) et de Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....) (laboratoire) .

Le président du jury était Bertrand Maury.

Le jury était composé de Danielle Hilhorst, Delphine Salort, Bertrand Maury, Philippe Laurençot, Vincent Calvez, Benoît Perthame.

Les rapporteurs étaient Philippe Laurençot, Vincent Calvez.


  • Résumé

    Dans cette thèse, j'étudie des équations aux dérivées partielles qui modélisent des phénomènes biologiques.Dans la première partie, je m'intéresse à une variante des équations de Keller-Segel qui modélise la chimiotaxie des micro-organismes et vise à expliquer la façon dont des colonies bactériennes s'auto-organisent et forment, en fonction de la quantité de nutriments disponibles, différents motifs géométriques. Pour le modèle en question, je construis des solutions et j'étudie leur comportement en temps long. Je montre que certaines solutions explosent en temps fini.Dans la deuxième partie, je m'intéresse au modèle Intègre et tire avec bruit et fuite non-linéaire, une équation de type Fokker-Planck qui décrit l'activité d'un réseau de neurones. J'améliore certaines estimées sur l'existence globale et l'explosion en temps fini et je démontre des résultats pour une variante du modèle avec un délai synaptique : existence globale, comportement en temps long, recherche de solutions périodiques.Dans la troisième partie, je propose une modélisation d'abord stochastique, ensuite déterministe, pour le phénomène d'adaptation des dommages à l'ADN chez les eucaryote. Des simulations numériques sont proposées et commentées.

  • Titre traduit

    Partial differential equations of Keller-Segel type in population dynamics and of Fokker-Planck type in neurosciences


  • Résumé

    In this thesis, I study some partial differential equations modelling biological phenomena.In the first part, I am concerned with a variant of the Keller-Segel equations which models chemotaxis in microorganisms and aims at understanding the way they self-organise and form, depending upon the density of nutrients, different geometrical patterns. For this model, I construct solutions and I study their long time behaviour. I show that some solutions blow-up in finite time.In the second part, I study the model Nonlinear Noisy leaky integrate and fire, a Fokker-Planck type equation which describes the activity of a neural network. I upgrade some estimates on global existence and finite time blow-up and I prove results for a variant of the model in which a synaptic delay is added : global existence, long time behaviour, search of periodic solutions.In the third part, I propose a stochastic model, and then a deterministic model, for the phenomenon of adaptation to DNA damage in eukaryotes. Numerical simulations are proposed and discussed.


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