Le Modèle elliptique de l'équation d'osmose et ses applications

par Marie De Masson d'Autume

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Enric Meinhardt-Llopis et de Jean-Michel Morel.

Le président du jury était Joachim Weickert.

Le jury était composé de Enric Meinhardt-Llopis, Jean-Michel Morel, Michael Breuss, Bruno Vallet, Cyrielle Guérin, Julie Digne, Bruno Cornelis.

Les rapporteurs étaient Michael Breuss, Bruno Vallet.


  • Résumé

    Cette thèse étudie le modèle elliptique de l'équation d'osmose et plusieurs de ses applications, en particulier la texturation de modèles 3Ds à partir d'image satellite multi-dates. L'équation d'osmose est similaire à l'équation de Poisson mais est invariante aux changements d'illuminations. Elle a été introduite dans le cadre du traitement d'image dans un modèle parabolique et résolue pour un domaine avec conditions au bord de Neumann.Le premier chapitre expose le modèle elliptique et donne des résultats théoriques pour plusieurs des problèmes au bord associés : conditions de Dirichlet, de Neumann et conditions mixtes. Sont prouvés en particulier l'existence et unicité d'une solution à ces problèmes, à une constante multiplicative près dans le cas de conditions de Neumann. Ces résultats sont étendus au cas de variétés ayant une seule carte locale.Le deuxième chapitre donne ces mêmes résultats pour le cas discret. Il est difficile pour un domaine arbitraire d'implémenter des conditions de Neumann ou des conditions mixtes avec la méthode des différences finies classique. Une formulation par graphe est par conséquent proposée qui facilite considérablement la manipulation des différentes conditions au bord. Cette formulation a également l'avantage de pouvoir être applicable sans changements à un maillage triangulaire.Le troisième chapitre présente différentes applications de l'équation d'osmose : le seamless cloning, la suppression d'ombres et la fusion d'images. Pour le seamless cloning, les résultats sont comparés à ceux obtenus avec Poisson editing. Ils montrent l'intérêt de l'invariance aux changements d'illumination dans le cas d'images d'entrées à contrastes très différents. Cette partie montre aussi les raisons de préférer résoudre l'équation localement avec conditions de Dirichlet plutôt que sur toute l'image avec conditions de Neumann.C'est pour le cas de la suppression d'ombres que l'importance des conditions mixtes apparaît comme elles permettent de traiter à la fois les ombres propres et les ombres portées.Ce chapitre propose aussi plusieurs méthodes pour la fusion de plus de deux images. Sont comparés en particulier les résultats obtenus par une fusion directe des couleurs et ceux obtenus par une fusion à base d'EDPs.Les méthodes développées pour le seamless cloning et la suppression d'ombres sont ensuite appliquées au cas particulier de la restoration digitale d'enluminures médiévales censurées. Cette application est présentée dans le quatrième chapitre et nécessite elle aussi l'usage de conditions au bord mixtes. Ce chapitre propose également une méthode à base d'inpainting pour la restauration d'enluminures endommagées.Le dernier chapitre propose une chaîne de traitement pour la création et la texturation d'un maillage à partir d'images satellites multi-dates. Les ombres sont automatiquement détectées pour un traitement différent des ombres propres et des ombres portées. La texture finale est une fusion l'aide de l'équation d'osmose des images satellites pondérée par la présence d'ombres et l'orientation du satellite.

  • Titre traduit

    The Elliptic Osmosis Model and its Applications


  • Résumé

    This thesis deals with the elliptic osmosis equation and several of itsapplications. One application in particular is the texturation of 3D modelswith multi-date satellite images. The osmosis equation is similar to Poissonequation but with an illumination-invariant data term. It was first introduced forimage editing in a parabolic formulation for a domain with Neumann boundaryconditions.The first chapter describes the elliptic formulation of the osmosis model andseveral of its associated boundary-value problems: Dirichlet, Neumann and mixedboundary-value conditions. Theoretical results for the existence and uniquenessof solutions to these problems are proved for regular domains. These resultsare extended to manifolds with one local chart. The second chapter gives thesame results for the discrete case. For arbitrary domains, Neumann and mixedboundary conditions are difficult to implement with a classic finite differencescheme. For this reason a graph formulation of the problem is introduced thatallows much more flexibility for the manipulation of these boundary conditions.Unlike a finite difference scheme this formulation can be directlyapplied to triangular meshes.The third chapter presents applications of the elliptic osmosis model to theproblems of seamless cloning, shadow removal and image fusion. For seamlesscloning the results are compared to the ones obtained with Poisson editing. Thisshows the interest of having an illumination-invariant term when dealing withinput images whose contrasts are very different. The experiments also presenttheadvantages of solving the problem locally with Dirichlet conditions instead ofon the whole image domain with Neumann boundary conditions.The illumination-invariance of the equation encourages its use for the problemof shadow removal. This application showcases the interest of using mixed boundaryconditions as it allows the user to deal with both cast and attached shadows.This chapter also shows several methods to fuse more than two images of ascene. Several aggregator functions are proposed and the results of thedifferent fusions are compared. It illustrates the interest of PDE-based fusionover the simple fusion of the colour information.A more concrete application related to art is presented in the fourth chapter:the digital restoration of censored medieval illuminations when infraredreflectograms are provided along with the colour images. This applicationneeds the use of the methods already described for seamless cloning andshadow removal. It also showcases the importance of mixed boundary conditions.The last chapter proposes a pipeline to texture a given 3D model frommulti-date satellite images. We automatically detect the shadows,distinguishing the cast and attached shadows. The final texture is a PDE basedfusion of the satellite images weighted by the presence of shadows and theorientation of the satellite sensor.


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