Some statistical results in high-dimensional dependence modeling

par Alexis Derumigny

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Jean-David Fermanian et de Alexandre B. Tsybakov.

  • Titre traduit

    Contributions à l'analyse statistique des modèles de dépendance en grande dimension


  • Résumé

    Cette thèse peut être divisée en trois parties.Dans la première partie, nous étudions des méthodes d'adaptation au niveau de bruit dans le modèle de régression linéaire en grande dimension. Nous prouvons que deux estimateurs à racine carrée, peuvent atteindre les vitesses minimax d'estimation et de prédiction. Nous montrons qu'une version similaire construite à parti de médianes de moyenne, peut encore atteindre les mêmes vitesses optimales en plus d'être robuste vis-à-vis de l'éventuelle présence de données aberrantes.La seconde partie est consacrée à l'analyse de plusieurs modèles de dépendance conditionnelle. Nous proposons plusieurs tests de l'hypothèse simplificatrice qu'une copule conditionnelle est constante vis-à-vis de son évènement conditionnant, et nous prouvons la consistance d'une technique de ré-échantillonage semi-paramétrique. Si la copule conditionnelle n'est pas constante par rapport à sa variable conditionnante, alors elle peut être modélisée via son tau de Kendall conditionnel. Nous étudions donc l'estimation de ce paramètre de dépendance conditionnelle sous 3 approches différentes : les techniques à noyaux, les modèles de type régression et les algorithmes de classification.La dernière partie regroupe deux contributions dans le domaine de l'inférence.Nous comparons et proposons différents estimateurs de fonctionnelles conditionnelles régulières en utilisant des U-statistiques. Finalement, nous étudions la construction et les propriétés théoriques d'intervalles de confiance pour des ratios de moyenne sous différents choix d'hypothèses et de paradigmes.


  • Résumé

    This thesis can be divided into three parts.In the first part, we study adaptivity to the noise level in the high-dimensional linear regression framework. We prove that two square-root estimators attains the minimax rates of estimation and prediction. We show that a corresponding median-of-means version can still attains the same optimal rates while being robust to outliers in the data.The second part is devoted to the analysis of several conditional dependence models.We propose some tests of the simplifying assumption that a conditional copula is constant with respect to its conditioning event, and prove the consistency of a semiparametric bootstrap scheme.If the conditional copula is not constant with respect to the conditional event, then it can be modelled using the corresponding Kendall's tau.We study the estimation of this conditional dependence parameter using 3 different approaches : kernel techniques, regression-type models and classification algorithms.The last part regroups two different topics in inference.We review and propose estimators for regular conditional functionals using U-statistics.Finally, we study the construction and the theoretical properties of confidence intervals for ratios of means under different sets of assumptions and paradigms.


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