Analyse mathématique de l'équation de Kuznetsov : problème de Cauchy, questions d'approximations et problèmes aux bords fractals.

par Adrien Dekkers

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Frédéric Abergel.

Le président du jury était Claude Bardos.

Le jury était composé de Frédéric Abergel, Céline Grandmont, Olivier Goubet, Grigori Panassenko, François Golse, Anna Rozanova.

Les rapporteurs étaient Céline Grandmont, Olivier Goubet.


  • Résumé

    Dans le contexte de l’acoustique on a systématisé la dérivation de modèles nonlinéaires(l’équation de Kuznetsov, l’équation KZK et la NPE). On a estimé le temps pourlequel des solutions régulières de ces modèles restent proches des solutions des systèmes deNavier-Stokes/Euler compressibles isentropiques (en précisant leur plus faible régularité) etétabli les résultats analogues entre les solutions des équations de KZK, NPE et Westerveltpar rapport à la solution de l’équation de Kuznetsov. Pour ce faire, on a étudié l’équationde Kuznetsov en commençant par le problème de Cauchy dans les cas visqueux (stabilité,unicité et existence globale des solutions régulières) et non-visqueux (caractère bien poséavec les estimations optimales du temps d’existence maximale des solutions régulières) etégalement dans un demi espace avec des conditions au limites périodiques en temps oudans un espace périodique dans une direction. On a aussi obtenu l’existence et l’unicité dessolutions faibles pour l’équation des ondes fortement amortie et l’équation deWestervelt surla plus large classe de domaines aux bords irréguliers, ainsi que la convergence asymptotiquedes solutions de l’équation de Westervelt avec conditions de Robin sur les bords préfractalsapproximant un bord fractal de type mixture de Koch.

  • Titre traduit

    Mathematical analysis of the Kuznetsov equation : Cauchy problem, approximation questions and problems with fractals boundaries.


  • Résumé

    In the framework of acoustic we systematize the derivation of nonlinear models(the Kuznetsov equation, the KZK equation and the NPE). We estimate the time for whichthe regular solutions of these models stay close of the solutions of the compressible isentropicNavier-Stokes/Euler systems (pointing out their weakest regularity) and establish similarresults between the solutions of the KZK, NPE and Westervelt equations with respectto the solutions of the Kuznetsov equation. To do so, we study the Kuznetsov equationbeginning by the Cauchy problem in the viscous case (stability, gobal well posedness ofregular solutions) and inviscid case (well posedness with optimal estimations of the maximalexistence time for regular solutions) and also in the half space with time periodic boundaryconditions or in a periodic in one direction space. We also obtain the existence and unicityof weak solutions for the strongly damped wave equation and the Westervelt equation in thelargest class of domains with irregular boundaries, along with the asymptotic convergenceof the solutions of the Westervelt equation with Robin boundary conditions on prefractalboundaries approximating a Koch mixture as fractal boundary.


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