Statistiques asymptotiques des processus ponctuels déterminantaux stationnaires et non stationnaires

par Arnaud Poinas

Thèse de doctorat en Mathématiques et leurs interactions

Sous la direction de Bernard Delyon et de Frédéric Lavancier.

Soutenue le 04-07-2019

à Rennes 1 , dans le cadre de MATHSTIC , en partenariat avec Universite Bretagne Loire (ComuE) et de Institut de recherche mathématique (Rennes) (laboratoire) .


  • Résumé

    Ce manuscrit est dédié à l'étude de l'estimation paramétrique d'une famille de processus ponctuels appelée processus déterminantaux. Ces processus sont utilisés afin de générer et modéliser des configurations de points possédant de la dépendance négative, dans le sens où les points ont tendance à se repousser entre eux. Plus précisément, nous étudions les propriétés asymptotiques de divers estimateurs classiques de processus déterminantaux paramétriques, stationnaires et non-stationnaires, dans les cas où l'on observe une unique réalisation d'un tel processus sur une fenêtre bornée. Ici, l'asymptotique se fait sur la taille de la fenêtre et donc, indirectement, sur le nombre de points observés. Dans une première partie, nous montrons un théorème limite central pour une classe générale de statistiques sur les processus déterminantaux. Dans une seconde partie, nous montrons une inégalité de béta-mélange générale pour les processus ponctuels que nous appliquons ensuite aux processus déterminantaux. Dans une troisième partie, nous appliquons le théorème limite central obtenu à la première partie à une classe générale de fonctions estimantes basées sur des méthodes de moments. Finalement, dans la dernière partie, nous étudions le comportement asymptotique du maximum de vraisemblance des processus déterminantaux. Nous donnons une approximation asymptotique de la log-vraisemblance qui est calculable numériquement et nous étudions la consistance de son maximum.

  • Titre traduit

    Asymptotic inference of stationary and non-stationary determinantal point processes


  • Résumé

    This manuscript is devoted to the study of parametric estimation of a point process family called determinantal point processes. These point processes are used to generate and model point patterns with negative dependency, meaning that the points tend to repel each other. More precisely, we study the asymptotic properties of various classical parametric estimators of determinantal point processes, stationary and non stationary, when considering that we observe a unique realization of such a point process on a bounded window. In this case, the asymptotic is done on the size of the window and therefore, indirectly, on the number of observed points. In the first chapter, we prove a central limit theorem for a wide class of statistics on determinantal point processes. In the second chapter, we show a general beta-mixing inequality for point processes and apply our result to the determinantal case. In the third chapter, we apply the central limit theorem showed in the first chapter to a wide class of moment-based estimating functions. Finally, in the last chapter, we study the asymptotic behaviour of the maximum likelihood estimator of determinantal point processes. We give an asymptotic approximation of the log-likelihood that is computationally tractable and we study the consistency of its maximum.


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