Infinite Computations in Algorithmic Randomness and Reverse Mathematics

par Paul-Elliot Anglès d'Auriac

Thèse de doctorat en Logique mathématique

Sous la direction de Pierre Valarcher et de Benoît Monin.

Soutenue le 22-11-2019

à Paris Est , dans le cadre de École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2015-....) , en partenariat avec Laboratoire d'algorithmique, complexité et logique (Créteil) (laboratoire) et de Laboratoire d'Algorithmique Complexité et Logique / LACL (laboratoire) .

Le président du jury était Serge Grigorieff.

Le jury était composé de Pierre Valarcher, Benoît Monin, Noam Greenberg, Merlin Carl, Julien Cervelle, Ludovic Patey, Brigitte Vallée.

Les rapporteurs étaient Noam Greenberg, Merlin Carl.

  • Titre traduit

    Calcul infini dans l'aléatoire algorithmique et les mathématiques à rebours


  • Résumé

    Cette thèse se concentre sur l'apport du calcul en temps infini à la logique mathématique. Le calcul en temps infini est une variante de la traditionnelle définition du calcul comme suite finie d'étapes, chaque étape étant définie à partir des précédentes, et aboutissant à un état final. Dans le cas de cette thèse, nous considérons le cas où le nombre d'étapes n'est pas forcément fini, mais peut continuer le long des ordinaux, une extension des entiers. Il existe plusieurs manières d'implémenter cette idée, nous en utilisons trois : la calculabilité d'ordre supérieur, les machines de Turing à temps infini et l'α-récursion.Une part de ce travail concerne les mathématiques à rebours, et plus particulièrement le théorème de Hindman. Les mathématiques à rebours sont un programme mathématique consistant en l'étude des théorèmes et axiomes mathématiques du point de vue de leur "puissance", et établissant une hiérarchie sur celle-ci. En particulier la détermination des briques de bases, aussi appelées axiomes, qui sont nécessaires dans une preuve est centrale. Nous étudions au travers de ce prisme le théorème de Hindman, un théorème combinatoire de la théorie de Ramsey qui dit que pour tout partitionnement des entiers en un nombre fini d'ensembles, appelés couleurs, il doit exister une ensemble infini S d'entiers dont toute les sommes d'éléments issus de S ont la même couleur. Dans cette thèse, nous progressons dans la résolution de la question du système d'axiomes minimal pour prouver ce théorème, en montrant que l'existence d'objets combinatoires intermédiaires est prouvable dans un système d'axiome faible.La réduction de Weihrauch est une méthode récente de comparaison de puissance de théorème, qui les considère comme des problèmes à résoudre, puis compare leur difficulté. Cette réduction a été moins étudiée, et en particulier certains des principes les plus importants des mathématiques à rebours ne sont pas bien compris dans ce cadre. L'un d'eux est le principe ATR de Récursion Arithmétique Transfinie, un principe très lié au calcul en temps infini et plus particulièrement à la calculabilité d'ordre supérieur. Nous continuons l'étude de ce principe en montrant ses liens avec un type particulier d'axiome du choix, et l'utilisons pour séparer les versions dépendantes et indépendantes de ces axiomes.Un autre domaine de la logique mathématiques qui tire parti de la théorie de la calculabilité est l'aléatoire algorithmique. Ce domaine étudie les réels "aléatoires", c'est à dire ceux dont il paraît raisonnable qu'ils aient été obtenus de façon purement aléatoire. Une manière d'étudier cela est de considérer, étant donné un réel, la plus petite complexité algorithmique d'un ensemble de mesure 0 le contenant. Ce domaine est très riche et a déjà été étendu à certains types de calcul en temps infini, modifiant ainsi les classes de complexité considérées. Cependant, il a seulement très récemment été étendu aux machines de Turing à temps infini (ITTMs) et à l'α-récursion. Dans cette thèse, nous contribuons à l'étude des notions d'aléatoire pour ITTMs et α-récursion les plus naturelles. Nous montrons que deux classes importantes, le Σ-aléatoire et l'ITTM-aléatoire, ne sont pas automatiquement distinctes ; en particulier leurs équivalents catégoriques sont confondus.


  • Résumé

    This thesis focuses on the gains of infinite time computations to mathematical logic. Infinite time computations is a variant of the traditional definition of computations as a finite sequence of stages, each stage being defined from the previous ones, and finally reaching a halting state. In this thesis, we consider the case where the number of stages is not necessarily finite, but can continue along ordinals, an extension of the integers. There exists several ways to implement this idea, we will use three of them: higher recursion, infinite time Turing machines and α-recursion.Part of this works concerns the domain of reverse mathematics, and especially Hindman's theorem. Reverse mathematics is a program consisting in the study of theorems and axioms from the point of view of their "strength", and establishing a hierarchy on these. In particular the question of which axioms are needed in a proof of a given statement is central. We study Hindman's theorem under this lens, a combinatorial result from Ramsey's theory stating that for every partitioning of the integers into finitely many colors, there must exists an infinite set such that any sum of elements taken from it has a fixed color. In this thesis, we make some progress in the question of the minimal axiomatic system needed to show this result, by showing that the existence of some intermediate combinatorial objects is provable in a weak system.Weihrauch reduction is a way to compare the strength of theorems, that has been introduced in reverse mathematics recently. It sees theorems as problems to solve, and then compare their difficulties. This reduction is still less studied in this context, in particular few of the most important principles of reverse mathematics are not yet well comprehended. One of these is the Arithmetical Transfinite Recursion principle, an axiomatic system with strong links with infinite time computations and especially higher recursion. We continue the study of this principle by showing its links with a particular type of axiom of choice, and use it to separate the dependent and independent version of this choice.Yet another field of mathematical logic that benefits from computability theory is the one of algorithmic randomness. It studies "random" reals, those that it would seem reasonable to think that they arise from a process picking a real uniformly in some interval. A way to study this is to considerate, for a given real, the smallest algorithmic complexity of a null set containing it. This domain has proven very rich and has already been extended to certain type of infinite time computation, thereby modifying the complexity class considered. However, it has been extended to infinite time Turing machine and α-recursion only recently, by Carl and Schlicht. In this thesis, we contribute to the study of the most natural randomness classes for ITTMs and α-recursion. We show that two important classes, Σ-randomness and ITTM-randomness, are not automatically different; in particular their categorical equivalent are in fact the same classes.


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