Factorisations des mots de basse complexité

par Caius Wojcik

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Luca Zamboni et de Boris Adamczewski.

Soutenue le 16-12-2019

à Lyon , dans le cadre de École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon , en partenariat avec Université Claude Bernard (Lyon) (établissement opérateur d'inscription) et de ICJ - Institut Camille Jordan (Rhône) (laboratoire) .

Le président du jury était Jiang Zeng.

Le jury était composé de Luca Zamboni, Boris Adamczewski, Émilie Charlier, Anna Frid.

Les rapporteurs étaient Jean-Paul Allouche, Gabriele Fici.


  • Résumé

    Nous présentons dans ce doctorat de mathématiques le travail effectué pendant trois ans à l'Université Claude Bernard Lyon 1. Ce doctorat a été réalisé sous les directions de Boris Adamczewski et Luca Zamboni, tous deux chercheurs à l'UCBL. Le thème général abordé est la combinatoire des mots, sous la forme de deux contributions, l'une concernant la théorie de Ramsey développée dans la première partie, et l'autre la classe des mots sturmiens développée dans la seconde partie. La combinatoire des mots est un domaine à la croisée des mathématiques, et plus généralement des sciences. Avec l'essor de l'informatique théorique, ou encore des progrès de la génétique, l'étude des suites de symboles est devenu un sujet de recherche incontournable à l'importance grandissante. Les mots vus comme suites de symboles sont en effet intrinsèquement soumis à des lois mathématiques d'une profonde subtilité. L'exemple historique d'Axel Thue d'un mot infini sans facteurs carrés sur un alphabet à trois lettres a été un des points de départ de cette théorie, via une construction non-triviale d'un mot infini soumis à une condition pourtant très simple en apparence. Que ce soit dans la structure des décimales des nombre réels, dans les codes informatiques omniprésents dans le fonctionnement des ordinateurs, ou dans notre propre code génétique, la combinatoire des mots fournit un cadre commun pour une étude en profondeur de problématiques actuelles. Le présent doctorat s'inscrit naturellement dans ce processus scientifique. Directement inspiré par les travaux fondateurs d'Axel Thue, nous étudions dans la première partie les conditions d'existence d'objets combinatoires (en outre, des colorations) soumis à des contraintes d'apparence simples, et nous apportons une réponse optimale à une conjecture qui est restée ouverte pendant une décennie. Cette solution exploite les différences et liens entre les notions naturelles de préfixe et de suffixe en combinatoire des mots. Notre seconde partie, quant à elle, étudie une version infinie du système de numération d'Ostrowski, à l'aide des mots de basse complexité donnés par les mots infinis non-ultimement périodiques de plus petite fonction de complexité que sont les mots sturmiens. Construit d'une manière analogue aux nombres p-adiques, le formalisme introduit et développé concernant les intercepts formels en vue de donner une description combinatoire de la classe des mots sturmiens a pour conséquences plusieurs résultats concernant les factorisations de ces mots. Le calcul des compléments étudié à la fin de cette partie montre comment la comparaison des opérations de préfixe et de suffixe peut être utilisée pour obtenir des résultats non-triviaux concernant les factorisations des mots de basse complexité

  • Titre traduit

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  • Résumé

    We present in this PhD. in Mathematics the work effectuated during three years at the Lyon 1 University Chaude Bernard Lyon 1. This PhD. has been realied under the supervisions of Boris Adamczewki and Luca Zamboni, both researchers in the Lyon 1 University. The general topic is combinatorics on words, in the form of two contributions, one of them on the limits of Ramsey theory in this context developped in the first part, and the second on the links between the Ostrowski numeration system and factorisations of sturmian words. Combinatorics on words is a domain at the intersections of mathematics, and more generally of sciences. With the emergence of theoretical computer science, or of progresses in genetics, the study of sequences of symbols has become a unavoidable research subject of growing importance. Words seen as a sequence of symboles are indeed bound to deep and subtle mathematical laws. The historical example discovered by Axel Thue of an infinite square-free word over a 3-letter alphabet have been the start of this theory, with a non-trivial construction of a specific word submitted to a seemingly very simple condition. Whether it is within the structure of decimals of real numbers, in the code lines everywhere in computers or inside our own genetic information, combinatorics on words gives a comon theoretical set of tools for a deep study of a number of present scientific issues. The present PhD. lands naturally within this scientific process. Directly inspired by the fundamental work of Axel Thue, we study in the first part the condition for the existence of combinatorial objects, colorations, submitted to a monochromatic constraint, and provide an optimal answer to a conjecture that have remained open for 10 years. This solution exploits the differences and links between the notions of prefixes and suffixes in combinatorics on words. In a second part, we study a infinite version of the Ostrowski numeration system, with the use of the low complexity class of words formed by the sturmian words. Built in a similar way as the p-adic number, the introduced and developped formalism on formal intercepts with the purpose of describing combinatorially the class of sturmian words has several consequences with regards to their factorisations. The calculus of complement, presented at the end shows how comparison of the prefix and suffix operations can be used to derived non-trivial results on factorisation of low complecity words


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