Modélisation de la dépendance entre pré-extrêmes

par Simon Chatelain

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Anne-Laure Fougères et de Johanna G. Nešlehová.

Soutenue le 17-12-2019

à Lyon en cotutelle avec McGill university (Montréal, Canada) , dans le cadre de École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon , en partenariat avec Université Claude Bernard (Lyon) (établissement opérateur d'inscription) et de ICJ - Institut Camille Jordan (Rhône) (laboratoire) .


  • Résumé

    Le comportement extrême joint entre variables aléatoires revêt un intérêt particulier dans de nombreuses applications des sciences de l’environnement, de la finance, de l’assurance ou encore de la gestion du risque. Par exemple, ce comportement joue un rôle central dans l’évaluation des risques de catastrophes naturelles. Une erreur de spécification de la dépendance entre des variables aléatoires peut engendrer une sous-estimation dangereuse du risque, en particulier au niveau extrême. Le premier objectif de cette thèse est de développer des techniques d’inférence pour les copules Archimax. Ces modèles de dépendance peuvent capturer tout type de dépendance asymptotique entre les extrêmes et, de manière simultanée, modéliser les risques joints au niveau moyen. Une copule Archimax est caractérisée par ses deux paramètres fonctionnels, la fonction de dépendance caudale stable et le générateur Archimédien qui agit comme une distorsion affectant le régime de dépendance extrême. Des conditions sont dérivées afin que le générateur et la fonction caudale soient identifiables, de sorte qu’une approche d’inférence semi-paramétrique puisse être développée. Deux estimateurs non paramétriques de la fonction caudale et un estimateur du générateur basé sur les moments, supposant que ce dernier appartient à une famille paramétrique, sont avancés. Le comportement asymptotique de ces estimateurs est ensuite établi sous des hypothèses de régularité non restrictives et la performance en échantillon fini est évaluée par le biais d’une étude de simulation. Une construction hiérarchique (ou en “clusters”) qui généralise les copules Archimax est proposée afin d’apporter davantage de flexibilité, la rendant plus adaptée aux applications pratiques. Le comportement extrême de ce nouveau modèle de dépendance est ensuite étudié, ce qui engendre un nouvelle manière de construire des fonctions de dépendance caudale stable. La copule Archimax est ensuite utilisée pour analyser les maxima mensuels de précipitations, observées à trois stations météorologiques en Bretagne. Le modèle semble très bien ajusté aux données, aussi bien aux précipitations faibles qu’aux précipitationsfortes. L’estimateur non paramétrique de la fonction caudale révèle une dépendance extrême asymétrique entre les stations, ce qui reflète le déplacement des orages dans la région. Une application du modèle Archimax hiérarchique à un jeu de données de précipitations contenant 155 stations est ensuite présentée, dans laquelle des groupes de stations asymptotiquement dépendantes sont déterminés via un algorithme de “clustering” spécifiquement adapté au modèle. Enfin, de possibles méthodes pour modéliser la dépendance inter-cluster sont évoquées

  • Titre traduit

    Modeling the dependence of pre-asymptotic extremes


  • Résumé

    In various applications in environmental sciences, finance, insurance or risk management, joint extremal behavior between random variables is of particular interest. For example, this plays a central role in assessing risks of natural disasters. Misspecification of the dependence between random variables can lead to substantial underestimation of risk, especially at extreme levels. This thesis develops inference techniques for Archimax copulas. These copula models can account for any type of asymptotic dependence between extremes and at the same time capture joint risks at medium levels. An Archimax copula is characterized by two functional parameters, the stable tail dependence function (stdf), and the Archimedean generator which acts as a distortion of the extreme-value dependence model. Conditions under which the generator and the stdf are identifiable are derived so that a semiparametric approach for inference can be developed. Two nonparametric estimators of the stdf and a moment-based estimator of the generator, which assumes that the latter belongs to a parametric family, are proposed. The asymptotic behavior of the estimators is then established under broad regularity conditions; performance in small samples is assessed through a comprehensive simulation study. In the second part of the thesis, Archimax copulas are generalized to a clustered constructions in order to bring in more flexibility, which is needed in practical applications. The extremal behavior of this new dependence model is derived herein. Finally, the methodology proposed herein is illustrated on precipitation data. First, a trivariate Archimax copula is used to analyze monthly rainfall maxima at three stations in French Brittany. The model is seen to fit the data very well, both in the lower and in the upper tail. The nonparametric estimator of the stdf reveals asymmetric extremal dependence between the stations, which reflects heavy precipitation patterns in the area. An application of the clustered Archimax model to a precipitation dataset containing 155 stations is then presented, where groups of asymptotically dependent stations are determined via a specifically tailored clustering algorithm. Finally, possible ways to model inter cluster dependence are discussed


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