Analyse stochastique et inférence statistique des solutions d’équations stochastiques dirigées par des bruits fractionnaires gaussiens et non gaussiens

par Meryem Slaoui

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Ciprian A. Tudor.

Soutenue le 05-11-2019

à Lille 1 , dans le cadre de École doctorale Sciences pour l'Ingénieur (Lille) , en partenariat avec Laboratoire Paul Painlevé (laboratoire) .


  • Résumé

    Cette thèse est consacrée à l'étude des solutions d'équations différentielles stochastiques dirigées par des bruits fractionnaires gaussiens et non gaussiens. Les bruits fractionnaires considérés sont modélisés par les processus d'Hermite qui forment une famille de processus stochastiques autosimilaires, à accroissements stationnaires et qui sont représentés par des intégrales stochastiques multiples de Wiener-Itô. Dans un premier travail, nous étudions la solution de l'équation stochastique de la chaleur linéaire dirigée par un champ d'Hermite. Nous établissons les différentes propriétés de la solution mild et analysons en particulier sa distribution en probabilité dans le cas non gaussien. La deuxième partie de cette thèse concerne le comportement asymptotique des solutions d'équations stochastiques lorsque l'exposant de Hurst H qui caractérise le bruit fractionnaire converge vers ses valeurs limites. Nous étudions en particulier le comportement en loi de la solution de l'équation de la chaleur stochastique dirigée par un champ d'Hermite et le processus d'Ornstein-Uhlenbeck type Hermite qui est la solution de l'équation de Langevin dirigée par un processus d'Hermite. Dans la dernière partie de ce travail, nous analysons le comportement asymptotique en loi des variations généralisées de la solution de l'équation stochastique des ondes dirigée par un bruit gaussien fractionnaire. Ces résultats ont permis de construire des estimateurs consistants pour l'indice d’autosimilarite H.

  • Titre traduit

    Stochastic analysis and statistical inference of the solutions of stochastic differential equations driven by Gaussian and non Gaussian noises


  • Résumé

    This doctoral thesis is devoted to the study of the solutions of stochastic differential equations driven by additive Gaussian and non-Gaussian noises. As a non-Gaussian driving noise, we use the Hermite processes. These processes form a family of self-similar stochastic processes with stationary increments and long memory and they can be expressed as multiple Wiener-Itô integrals. The class of Hermite processes includes the well-known fractional Brownian motion which is the only Gaussian Hermite process, and the Rosenblatt process. In a first chapter, we consider the solution to the linear stochastic heat equation driven by a multiparameter Hermite process of any order and with Hurst multi-index H. We study the existence and establish various properties of its mild solution. We discuss also its probability distribution in the non-Gaussian case. The second part deals with the asymptotic behavior in distribution of solutions to stochastic equations when the Hurst parameter converges to the boundary of its interval of definition. We focus on the case of the Hermite Ornstein-Uhlenbeck process, which is the solution of the Langevin equation driven by the Hermite process, and on the case of the solution to the stochastic heat equation with additive Hermite noise. These results show that the obtained limits cover a large class of probability distributions, from Gaussian laws to distribution of random variables in a Wiener chaos of higher order. In the last chapter, we consider the stochastic wave equation driven by an additive Gaussian noise which behaves as a fractional Brownian motion in time and as a Wiener process in space. We show that the sequence of generalized variations satisfies a Central Limit Theorem and we estimate the rate of convergence via the Stein-Malliavin calculus. The results are applied to construct several consistent estimators of the Hurst index.


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