Processus de diffusion sur l’espace de Wasserstein : modèles coalescents, propriétés de régularisation et équations de McKean-Vlasov

par Victor Marx

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de François Delarue.

Soutenue le 25-10-2019

à l'Université Côte d'Azur (ComUE) , dans le cadre de École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice) , en partenariat avec Université de Nice (établissement de préparation) , Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice) (laboratoire) et de Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné (laboratoire) .

Le président du jury était Benjamin Jourdain.

Le jury était composé de Benjamin Jourdain, Arnaud Guillin, Max-K von Renesse, Mireille Bossy, Djalil Chafaï.

Les rapporteurs étaient Arnaud Guillin, Max-K von Renesse.


  • Résumé

    La thèse vise à étudier une classe de processus stochastiques à valeurs dans l’espace des mesures de probabilité sur la droite réelle, appelé espace de Wasserstein lorsqu'il est muni de la métrique de Wasserstein W2. Ce travail aborde principalement les questions suivantes : comment construire effectivement des processus stochastiques vérifiant des propriétes diffusives à valeurs dans un espace de dimension infinie ? existe-t-il une forme d’unicité, forte ou faible, satisfaite par certains processus ainsi construits ? peut-on établir des propriétés régularisantes de ces diffusions, en particulier le forçage stochastique d’équations de McKean-Vlasov ou des formules d’intégration par parties de BismutElworthy ? Le chapitre I propose une construction alternative, par approximations lisses, du système de particules défini par Konarovskyi et von Renesse, et appelé ci-après modèle coalescent. Le modèle coalescent est un processus aléatoire à valeurs dans l'espace de Wasserstein, satisfaisant une formule de type Itô sur cet espace et dont les déviations en temps petit sont régies par la métrique de Wasserstein, par analogie avec les déviations en temps court du mouvement brownien standard gouvernées par la métrique euclidienne. L’approximation régulière construite dans cette thèse partage ces propriétés diffusives et est obtenue par lissage des coefficients de l’équation différentielle stochastique satisfaite par le modèle coalescent. Cette variante présente l’avantage principal de satisfaire des résultats d’unicité demeurant ouverts pour le modèle coalescent. De plus, à de petites modifications de sa structure près, cette diffusion lissée possède des propriétés régularisantes : c'est précisément l’objet de l’étude des chapitres II à IV. Dans le chapitre II, on perturbe une équation de McKean-Vlasov mal posée par une de ces versions lissées du modèle coalescent, afin d’en restaurer l’unicité. Le lien est fait avec les résultats récents (Jourdain, Mishura-Veretennikov, Chaudru de Raynal-Frikha, Lacker, RöcknerZhang) où l'unicité d'une solution est démontrée lorsque le bruit est de dimension finie et le coefficient de dérive est lipschitzien en distance de variation totale en la variable de mesure. Dans notre cas, la diffusion sur l'espace de Wasserstein permet de régulariser le champ de vitesse en l'argument de mesure et ainsi de traiter des fonctions de dérive de faible régularité à la fois en la variable d'espace et de mesure. Enfin, les chapitres III et IV étudient, pour une diffusion définie sur l'espace de Wasserstein du cercle, les propriétés de régularisation du semi-groupe associé. Utilisant dans le chapitre III le calcul différentiel sur l’espace de Wasserstein introduit par Lions, on établit une inégalité de Bismut-Elworthy, contrôlant le gradient du semi-groupe aux points de l’espace des mesures de probabilité qui ont une densité assez régulière. Dans le chapitre IV, la vitesse d’explosion lorsqu'on fait tendre la variable temporelle vers zéro est améliorée sous certaines conditions de régularité supplémentaires. On déduit de ces résultats des estimations a priori pour une EDP posée sur l’espace de Wasserstein et dirigée par la diffusion sur le tore mentionnée ci-dessus, dans le cas homogène (chapitre III) et avec un terme source non trivial (chapitre IV).

  • Titre traduit

    Diffusive processes on the Wasserstein space : coalescing models, regularization properties and McKean-Vlasov equations


  • Résumé

    The aim of this thesis is to study a class of diffusive stochastic processes with values in the space of probability measures on the real line, called Wasserstein space if it is endowed with the Wasserstein metric W2. The following issues are mainly addressed in this work: how can we effectively construct a stochastic process satisfying diffusive properties with values in a space of infinite dimension? is there a form of uniqueness, in a strong or a weak sense, satisfied by some of those processes? do those diffusions own smoothing properties, e.g. regularization by noise of McKean-Vlasov equations or e.g. BismutElworthy integration by parts formulae? Chapter I introduces an alternative construction, by smooth approximations, of the particle system defined by Konarovskyi and von Renesse, hereinafter designed by coalescing model. The coalescing model is a random process with values in the Wasserstein space, following an Itô-like formula on that space and whose short-time deviations are governed by the Wasserstein metric, by analogy with the short-time deviations of the standard Brownian motion governed by the Euclidean metric. The regular approximation constructed in this thesis shares those diffusive properties and is obtained by smoothing the coefficients of the stochastic differential equation satisfied by the coalescing model. The main benefit of this variant is that it satisfies uniqueness results which are still open for the coalescing model. Moreover, up to small modifications of its structure, that smooth diffusion owns regularizing properties: this is precisely the object of study of chapters II to IV. In chapter II, an ill-posed McKean-Vlasov equation is perturbed by one of those smooth versions of the coalescing model, in order to restore uniqueness. A connection is made with recent results (Jourdain, Mishura-Veretennikov, Chaudru de Raynal-Frikha, Lacker, Röckner-Zhang) where uniqueness of a solution is proved when the noise is finite dimensional and the drift coefficient is Lipschitz-continuous in total variation distance in its measure argument. In our case, the diffusion on the Wasserstein space allows to mollify the velocity field in its measure argument and so to handle with drift functions having low regularity in both space and measure variables. Lastly, chapters III and IV are dedicated to the study, for a diffusion defined on the Wasserstein space of the circle, of the smoothing properties of the associated semi-group. Applying in chapter III the differential calculus on the Wasserstein space introduced by Lions, a Bismut-Elworthy inequality is obtained, controlling the gradient of the semi-group at those points of the space of probability measures that have a sufficiently smooth density. In chapter IV, a better explosion rate when time tends to zero is established under additional regularity conditions. This leads to a priori estimates for a PDE defined on the Wasserstein space and governed by the diffusion on the torus mentioned above, in the homogeneous case (chapter III) and in the case of a non-trivial source term (chapter IV).


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