Marches aléatoires pour l'estimation de densités d'états et de volume de convexes en grande dimension

par Augustin Chevallier

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Frédéric Cazals.

Le président du jury était Charles Robert.

Le jury était composé de Charles Robert, Tony Lelièvre, David J. Wales, Alain Trouvé, Jean-Daniel Boissonnat.

Les rapporteurs étaient Tony Lelièvre, David J. Wales.


  • Résumé

    Ce manuscrit présente de nouvelles marches aléatoires pour le calcul des densités d'états, un problème central en physique statistique, et le calcul de volume de polytopes. Tout d'abord, nous étudions Wang-Landau (WL), un algorithme stochastique récemment développé pour calculer la densité d'états d'un système physique. Nous proposons une marche aléatoire efficace qui utilise l'information géométrique pour contourner les difficultés suivantes : éviter de sauter des strates, atténuer les phénomènes de concentration en grandes dimensions, et gérer les distributions multimodales. Les expériences montrent que ces améliorations sont critiques dans les cas difficiles, et permettent de calculer la densité des états pour des régions de l'espace des phases de petites biomolécules. Puis nous étudions Hamiltonian Monte Carlo (HMC) avec réflexions sur les limites d'un domaine, offrant une alternative à Hit-and-run (HAR) pour échantillonner une distribution dans un domaine borné. Nous fournissons une borne de convergence, ouvrant la voie à une analyse plus précise du mixing time, et une implémentation robuste basée sur l'arithmétique multiprécision implémentée grâce à iRRAM -- un ingrédient obligatoire. Nous comparons Hamiltonian Monte Carlo à Hit-and-run au sein de l'algorithme de volume polytope de Cousins et Vempala. Les essais, effectués jusqu'à la dimension 50, montrent que Hamiltonian Monte Carlo avec réflexions surpasse Hit and Run. Enfin, l'utilisation de Wang-Landau nécessitant de spécifier le système étudié, de fournir une marche aléatoire, et éventuellement d'incorporer des variantes de Wang-Landau, nous présentons la première implémentation générique (C++) fournissant tous ces ingrédients.

  • Titre traduit

    Random walks for estimating densities of states and the volume of convex bodies in high dimensional spaces


  • Résumé

    This manuscript introduces new random walks for the computation of densities of states, a central problem in statistical physics, and the computation of the volume of polytopes. First, we focus on the Wang-Landau (WL) algorithm, a recently developed stochastic algorithm computing the density of states of a physical system. We propose an efficient random walk that uses geometrical information to circumvent the following inherent difficulties: avoiding overstepping strata, toning down concentration phenomena in high-dimensional spaces, and accommodating multidimensional distribution. Experiments on various models stress the importance of these improvements to make Wang-Landau effective in challenging cases. These improvements make it possible to compute density of states for regions of the phase space of small biomolecules. Second, we study Hamiltonian Monte Carlo (HMC) with reflections on the boundary of a domain, providing an enhanced alternative to Hit-and-run (HAR) to sample a target distribution in a bounded domain. We provide a convergence bound, paving the way to more precise mixing time analysis, and a robust implementation based on multi-precision arithmetic -- a mandatory ingredient. We compare Hamiltonian Monte Carlo with Hit and Run within the polytope volume algorithm by Cousins and Vempala. The tests, conducted up to dimension 50, show that the HMC with reflections random walk outperforms HAR. Finally, using Wang-Landau requires specifying the system handled, providing a suitable random walk to explore the definition domain, and possibly accommodate different variants of Wang-Landau. We present the first generic (C++) implementation providing all such ingredients.


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