Étude théorique et numérique de l'EDP de Black-Scholes non linéaire en présence des coûts de transaction

par Aicha Driouch

Thèse de doctorat en Mathématiques

Le président du jury était Ali Souissi.

Le jury était composé de Olivier Goubet, Hassan Al Moatassime, Mostafa Abounouh, Serge Dumont, Rajae Aboulaich, Morgan Pierre.

Les rapporteurs étaient Serge Dumont, Rajae Aboulaich.


  • Résumé

    Les modèles mathématiques non linéaires de Black-Scholes sont des modèles qui permettent de valoriser le coût d'une option Européenne en tenant compte d'hypothèses plus réalistes sur les marchés financiers que les modèles classiques linéaires. La contribution de cette thèse ne concerne pas l'étude de l'équation différentielle stochastique, mais l'étude d'un problème limite obtenu par G. Barles et H. Soner. Ce problème limite est une équation aux dérivées partielles déterministe fortement non linéaire de type parabolique dégénérée. Le coeur de la thèse est l’étude à la fois théorique et numérique de cette EDP déterministe. L'analyse théorique du modèle déterministe de G. Barles et H. Soner a été réalisée à l’aide d’une approche récente qui consiste à faire un changement de variable afin de placer le problème dans le cadre des équations de type Barenblatt de la forme (β(u_t)=Δu) où β est une fonction monotone. D'une part, nous avons étudié le problème avec des méthodes standard (utilisant la monotonie du système), plutôt que la théorie des solutions de viscosité. Nous avons également développé une méthode multigrille (en variable d'espace) afin de simuler numériquement la solution du problème de Barles et Soner en un temps raisonnable. Le gain attendu est une simulation numérique moins coûteuse en temps que les méthodes itératives de résolution numérique standard de type Gauss-Seidel. D'autre part, nous avons développé un modèle bidimensionnel pour une option panier en présence des coûts de transaction. Bien que ce produit financier soit simple. Il n'en demeure pas moins que cet instrument est complexe. En effet, comme pour la majorité des options multi-dimensionnelles, les équations modélisant les options paniers n'ont pas de solution analytique même dans le cas linéaire. Nous devons donc recourir à des méthodes numériques, mais l'efficacité de ces dernières est sensible à la dimension de l’espace. D'où l'intérêt de l'application de la méthode multi-grille

  • Titre traduit

    A Theoretical and numerical study of a nonlinear Black-Scholes PDE in the presence of transaction costs


  • Résumé

    The major contribution of this thesis is the theoretical study of a nonlinear Black-Scholes equation resulting from market frictions, like pricing options under transaction costs. We focused our attention on the Barles and Soner's model where the volatility is enlarged due to the presence of transaction costs and depends not only on the underlying asset and time but depends also on the second derivative of the option price. On the one hand we give a constructive mathematical approach for proving the existence of convex solutions for the Barles and Soner equation which is a non degenerate fully nonlinear deterministic problem with nonlinear dependence upon the highest derivative. The existence of a strong solution to the original equation is shown by considering a monotone sequence satisfying an abstract Barenblatt equation and converging toward the solution of a limit problem. On the other hand, we give a numerical simulation using finite difference technique since an exact solution of the Barles and Soner problem does not exist. Another contribution of this thesis is the pricing of a European basket options in the presence of transaction costs. We develop a model that incorporates the illiquidity of the market into the classical two-assets Black-Scholes framework. We perform a numerical simulation using finite difference method. We consider a multigrid method in order to reduce computational costs. The aim of this study is to investigate a deterministic extension for the Barles and Soner model and to demonstrate the effectiveness of multigrid approach to solving a fully nonlinear two dimensional Black-Scholes problem


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