Étude homotopique des espaces stratifiés

par Sylvain Douteau

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de David Chataur.


  • Résumé

    Un espace stratifié est un espace topologique découpé en strates, correspondant à une partition de l'espace selon le type des singularités. De tels espaces apparaissent en topologie et en géométrie, où ils généralisent la notion de variété. L'étude des espaces stratifiés, passe par le calcul d'invariants tels que la cohomologie d'intersection. Ceux-ci ne sont pas invariants par homotopies, et dépendent en général de la stratification. Néanmoins, ils sont invariants par homotopies stratifiées. Dans cette thèse, on étudie la théorie homotopique des espaces stratifiés relative à cette notion d'homotopie stratifiée. Ceci passe par la construction de catégories modèles pour les espaces stratifiés, et par leur caractérisation par des invariants d'homotopie stratifiée, les groupes d'homotopie filtrés. On commence notre étude par l'étude du cas où l'ensemble de strates est fixé, c'est le contexte filtré. On définit la catégorie modèle des ensembles simpliciaux filtrés. On montre qu'elle admet une description "à la Kan" et on y caractérise les équivalences faibles via les groupes d'homotopie filtrés. On en déduit une version filtrée du théorème de Whitehead. On construit ensuite une catégorie modèle pour les espaces filtrés. Les équivalences faibles y sont les morphismes induisant des isomorphismes sur tous les groupes d'homotopie filtrés et les fibrations vérifient une version filtrée de la condition de Serre. On montre que celle-ci est Quillen-équivalente à une catégorie de diagrammes d'ensembles simpliciaux. On entreprend ensuite de comparer les catégories modèles des ensembles simpliciaux filtrés et des espaces filtrés. Celles-ci sont liées par une adjonction de Quillen dont on conjecture qu'il s'agit d'une équivalence de Quillen. Finalement, on construit des structures de modèle sur les catégories des espaces stratifiés et des ensembles simpliciaux stratifiés, et on montre qu'elles sont liées par une adjonction qui préserve les équivalences faibles

  • Titre traduit

    Stratified homotopy theory


  • Résumé

    A stratified space is a topological together with a decomposition into strata reflecting different type of singularity. Examples of such spaces appear everywhere in topology and geometry, as the natural generalization to manifolds. The study of stratified spaces involves invariants such as intersection cohomology which are not homotopy invariants; in general, they depend on the stratification. Nevertheless, they are invariant by stratified homotopy. In this thesis, we study the homotopy theory of stratified spaces with respect to stratified homotopy. To do so, we construct model categories for stratified spaces and we introduce new invariants to characterize them, the filtered homotopy groups. A stratified space can be seen as a topological space together with a continuous map to a poset of strata. We begin our study by restricting ourselves to the case where the poset of strata is fixed, this is the filtered context. Then we define the model category of filtered simplicial sets. We show that it admits a description "à la Kan" and we characterize its weak-equivalences using the filtered homotopy groups. We deduce a proof of a filtered version of Whitehead theorem. We then construct a model category of filtered spaces. Its weak-equivalences are the morphisms that induce isomorphisms on all filtered homotopy groups, and the fibration satisfy a filtered version of Serre's lifting conditions. We show that it is Quillen-equivalent to a category of diagrams of simplicial sets. We then work toward a comparison between the model categories of filtered simplicial sets and of filtered spaces. They are connected by a Quillen-adjunction, similar to the classical Kan-Quillen adjunction. We conjecture that it is in fact a Quillen equivalence. Lastly, working with the notion of Quillen bifibration, we show that there are model categories of stratified spaces and of stratified simplicial sets. We show that the two are related by an adjunction that preserve weak equivalences


Il est disponible au sein de la bibliothèque de l'établissement de soutenance.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe

Où se trouve cette thèse\u00a0?

  • Bibliothèque : Université de Picardie Jules Verne. Service commun de la documentation. Bibliothèque électronique.
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.