Eléments sur la transformée de Berezin et sur les opérateurs de Toeplitz dans des espaces de fonctions polyanalytiques

Part of the Berezin transform and Toeplitz operator study in polyanalytic function spaces

• Auteur / Autrice : Irène Casseli
• Direction : El Hassan Youssfi, Stéphane Rigat
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/12/2019
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Marseille (I2M)
• Jury : Président / Présidente : Alexander Borichev
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Elizabeth Strouse, Miroslav Englis, Emmanuel Fricain
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Emmanuel Mazzilli, Karim Kellay

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations de Cauchy-Riemann

Noyaux de Bergman

Opérateurs de Toeplitz

Fonctions de plusieurs variables complexes

Mots clés libres

Fonctions polyanalytiques

Opérateurs de Toeplitz

Transformée de Berezin

Analyse complexe

Polyanalytic functions

Toeplitz operators

Berezin transform

Complex analysis

Résumé

Les fonctions polyanalytiques entières généralisent les fonctions entières dans la mesure où elles sont les solutions sur le plan complexe \mathbb{C} de l'équation de Cauchy-Riemann à l'ordre n, de la forme { partial} nf / \partial \overline{z} n = 0. Un espace de Fock polyanalytique F2 { lpha,n} est, par analogie avec le cas classique, le sous-espace fermé de l'espace de Hilbert L^2 (\mathbb{C},d\mu lpha), où \mu lpha est une mesure de probabilité gaussienne sur \mathbb{C} de paramètre alpha>0, formé des fonctions polyanalytiques entières d'ordre n. L'objet de cette thèses est l'étude d'éléments classiques de la théorie des opérateurs tels que la transformée de Berezin et les opérateurs de Toeplitz dans le cadre particulier des espaces de Fock polyanalytiques. Dans ce manuscrit, il est montré en particulier que les points fixes de la transformée de Berezin qui appartiennent aux espaces de Lebesgue sont les fonctions nulles ou éventuellement constantes. Concernant les opérateurs de Toeplitz, le problème de Sarason est étudié. Etant donné une fonction f, l'opérateur de Toeplitz de symbole f est formellement défini par T {alpha,n} f(h)=P {alpha,n}(f h), où P {alpha,n} est la projection orthogonale de L^2(\mathbb{C},d\mu {alpha}) sur F^2 {alpha,n}. Le problème de Sarason consiste à donner une condition nécessaire et suffisante sur f et g pour que le produit d'opérateurs de symboles f et bar g soit continu

Entire polyanalytic functions generalize entire functions in that they are solutions of ''Cauchy-Riemann equations of order n, of the form {\partial}^n f / \partial \overline{z}^n = 0, over the whole complex plane \mathbb{C}. Polyanalytic Fock space F^2_{ lpha,n} is, by analogy with the classical case, the closed subspace of the Hilbert space L^2(\mathbb{C},d\mu_ lpha), where \mu_ lpha is a Gaussian probability measure over \mathbb{C} with weight lpha>0, of polyentire functions of order n. The aim of this PhD thesis is the study of classical objects of operator theory such that the Berezin transform and Toeplitz operators in the particular case of polyanalytic Fock spaces. In this written, it is shown among other results, that the L^p fixed points of the Berezin transform are constant functions. Concerning Toeplitz operators, the Sarason problem is studied. Given a function f, the Toeplitz operator with symbol f is formally defined by T^n_f(h)=P_{F^2_n}(f h), where P_{F^2_n} is the orthogonal projection from L^2(\mathbb{C},d\mu) on to F^2_n. The so-called Sarason's problem consists in finding necessary and sufficient conditions on the symbols f and g for the Toeplitz product with symbols f and ar g to be bounded in the Fock space.