Analyse a posteriori et adaptation de maillage pour des problèmes d'écoulements souterrains et à surface libre

par Tarek Ghoudi

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Fayssal Benkhaldoun.

Soutenue le 19-12-2018

à Sorbonne Paris Cité , dans le cadre de École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) , en partenariat avec Université Paris 13 (Etablissement de préparation) et de Laboratoire Analyse, géométrie et applications (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) (laboratoire) .

Le président du jury était Laurence Halpern.

Le jury était composé de Mohammed Seaid, Pascal Omnes, Emmanuel Audusse, Abdallah Bradji.

Les rapporteurs étaient Jean-Michel Ghidaglia, Jean-Claude Latché.


  • Résumé

    L’objectif de cette thèse est d’analyser et de développer des outils numériques adaptatifs efficaces pour les problèmes d’écoulements souterrains et à surface libre, en proposant une nouvelle méthode d’adaptation basée sur les estimateurs d’erreur a posteriori.Dans la première partie, nous appréhendons le cadre mathématique en présentant une analyse détaillée sur l’existence et l’unicité ainsi que la convergence d’erreur dans les différentes normes pour les équations d’écoulement et de transport en milieux poreux.La deuxième partie est dédiée à une nouvelle stratégie d’adaptation de maillage qui consiste à coupler deux stratégies d’adaptation, à savoir la méthode Adapt et la stratégie Newest Vertex bisection (NVB). La première consiste à diviser un triangle en quatre-sous triangles, et la deuxième, consiste à le diviser en joignant le somment opposé à l’arête la plus longue par son milieu. La conformité de notre méthode émane de cette dernière méthode.La troisième partie est consacrée à la démarche empruntée pour valider notre nouvelle stratégie.Celle-ci s’appuie sur le schéma volumes finis "vertex centered", en considérant l’équation elliptique de second ordre à coefficients discontinus afin de prendre en compte les hétérogénéités du milieu. Des tests numériques viendront corroborer l’efficacité de notre méthode, ainsi que la convergence de l’erreur exacte et de l’estimateur, dont le rapport définit l’indice d’efficacité qui est proche de 1.Dans la quatrième partie, nous avons essayé d’optimiser cette stratégie d’adaptation, en concevant une stratégie multi-niveaux pour aboutir enfin à une nouvelle méthode numérique volumes finis-semi lagrangienne. Son principe est de résoudre le problème par une phase volume finis(phase correcteur) précédée d’une phase lagrangienne utilisant la méthode des caractéristiques(phase prédicteur). La phase volumes finis utilise comme flux numérique aux interfaces le vraiflux physique évalué en un état approché aux interfaces, obtenu dans la phase prédicteur par la méthode des caractéristiques. Elle fait également appel à des processus d’interpolation devant être judicieusement choisis.

  • Titre traduit

    A posteriori analysis and mesh adaptation for underground and free surface flow problems


  • Résumé

    The main objective of this thesis is to analyze and develop effective adaptive numerical tools for the problems of underground and free-surface flow by suggesting a new adaptation method based on a posteriori error estimators.The first part sets the mathematical framework by providing a detailed analysis of the existence, the uniqueness, and the error convergence in different norms for flow equations and transportin porous media.The second part has been dedicated to a new strategy of mesh adaptation which consists of coupling two strategies ; namely (i) the method Adapt, in which a triangle is divided into four-sub-triangles ; and (ii) the strategy Newest Vertex bisection (NVB), in which a triangle isdivided by joining the middle of the longest edge to the opposite vertex. The conformity of our method emanates from the latter.The objective of the third part is to validate our new strategy. The finite volume scheme "vertex centered" has been then used in consideration of the second-order elliptic equation with discontinuous coefficients to take into account the heterogeneities. The effectiveness of themethod is proven and confirmed by numerical tests, as well as the convergence of the exact error and the estimator ; the ratio of which, when close to 1, defines the efficiency index.In the fourth part, the adaptation strategy has been optimized by designing a multi-level strategy which led to a new numerical method denominated finite volume-semi lagrangian. Its principle is to solve problems by a finite volume phase (corrector phase) preceded by a Lagrangian phase using the characteristics method (predictor phase). The former phase uses a numerical flow at the interfaces. The true physical flow is evaluated in an approximated state at these interfaces. It is obtained during the predictor phase by the characteristics method which is also based on judiciously chosen interpolation processes.


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