Arithmetic Statistics for Quaternion Algebras

par Didier Lesesvre

Thèse de doctorat en Mathematiques

Sous la direction de Farrell Brumley.

Soutenue le 30-05-2018

à Sorbonne Paris Cité , dans le cadre de École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) , en partenariat avec Université Paris 13 (Etablissement de préparation) et de Laboratoire Analyse, géométrie et applications (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) (laboratoire) .

Le président du jury était Philippe Michel.

Le jury était composé de Valentin Blomer, Gaëtan Chenevier, Jacques Tilouine.

Les rapporteurs étaient Philippe Michel, Gergely Harcos.

  • Titre traduit

    Statistiques arithmétiques sur les algèbres de quaternions


  • Résumé

    Les formes automorphes sont des objets centraux en théorie des nombres. En dépit de leur omniprésence, elles demeurent mystérieuses et leur comportement est loin d'être entièrement compris. Considérer ces formes automorphes au sein de familles a un effet régularisant, et ouvre la voie aux résultats en moyenne : voilà l'esprit des statistiques arithmétiques. La famille de toutes les représentations automorphes d'un groupe réductif donné, appelée famille universelle du groupe, est particulièrement importante. Dans le cas des formes intérieures de GL(2), autrement dit les groupes d'unités d'algèbres de quaternions, la formule des traces de Selberg est une puissante méthode d'approche. Il existe une notion de taille sur les formes automorphes, le conducteur analytique, permettant de tronquer la famille universelle en un ensemble fini pour lequel ces problèmes de statistiques arithmétiques ont un sens.Une loi de comptage pour la famille universelle tronquée est établie, avec un terme d'erreur gagnant par une puissance dans le cas totalement défini, et une constante à forte teneur géométrique. Cette loi de Weyl est généralisée en un résultat d'équirépartition par rapport à une mesure explicite, et mène à vérifier les conjectures de Sato-Tate dans ce cadre. Des statistiques sur les petits zéros des fonctions L associées sont établies, menant à dévoiler partiellement le type de symétrie des algèbres de quaternions.Plusieurs indices sont mentionnés laissant à croire que d'autres groupes sont abordables par les mêmes méthodes, et les lois de comptage conjecturales pour certains groupes unitaires et symplectiques de petits rangs sont énoncées.


  • Résumé

    Automorphic forms are central objects in modern number theory. Despite their ubiquity, they remain mysterious and their behavior is far from understood. Embedding them in wider families has a smoothing effect, allowing results on average: these are the aims of arithmetic statistics. The whole family of automorphic representations of a given reductive group, referred to as its universal family, is of fundamental importance. In the case of inner forms of GL(2), that is to say groups of units of quaternion algebras, the Selberg trace formula is a powerful method to handle it. There is a way to define a suitable notion of size, the analytic conductor, allowing to truncate the universal family to a finite one amenable to arithmetic statistics methods. A counting law for the truncated universal family is established, with a power savings error term in the totally definite case and a geometrically meaningful constant. This Weyl's law is generalized to an equidistribution result with respect to an explicit measure, and leads to answer the Sato-Tate conjectures in this case. Statistics on low-lying zeros are provided, leading to uncover part of the type of symmetry of quaternion algebras.Strong evidence is provided that further ground groups should be amenable as well to the same methods and conjectural counting laws are given in the case of symplectic and unitary groups of low ranks.


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