Comportement asymptotique de modèles de populations structurées

par Quentin Richard

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Mustapha Mokhtar-Kharroubi et de Antoine Perasso.

Soutenue le 08-10-2018

à Bourgogne Franche-Comté , dans le cadre de École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....) , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) (laboratoire) , Laboratoire de Mathématiques de Besançon (laboratoire) et de Université de Franche-Comté (Etablissement de préparation) .


  • Résumé

    Dans cette thèse nous regardons plusieurs modèles de populations structurés s’écrivant à l’aide d’équations de transport. Le caractère bien posé ainsi que la positivité des solutions sont montrés de manière systématique au sens des sémiologues dans un cadre L1. Un premier travail est consacré à un système de type proie prédateur structuré en âge. Une étude de stabilité des équilibres nous permet de formuler explicitement un seuil un seuil d’extinction ainsi qu’in seuil pouvant amener à l’explosion des populations. On obtient numériquement la possibilité d’un cycle limite ainsi que la convergence vers un équilibre de coexistence des populations. Dans un cas particulier, ce modèle se réécrit comme un système différentiel à retard. A l’aide de fonctionnelle de Lyapunov, on montre la stabilité globale de cet équilibre sous certaines conditions. On étudie également 2 modèles structuré en taille, issus de la dynamique cellulaire. L’un est composé de deux équations de transport où la cellule peut être soit prolifèrent soit quiescente ; et le deuxième est une équation de type transport/ diffusion avec des conditions aux bords FELLER. On vérifie à chaque fois l’irréductibilité du semi groupe puis des arguments de faibles capacité L1 nous donne l’existence d’un « gap spectral » sous certaines conditions. On démontre ainsi dans certains cas la croissance exponentielle asynchrone du semi groupe

  • Titre traduit

    Asymptotic behavior of structured populations models


  • Résumé

    This thesis is dedicated to some structured populations models described with transport or transport-diffusion equations. The well-posedness, in the semigroupes setting in L1 and the positivity of the solutions are systematically shown. A first work is dedicated to an age-structured predator/prey system. A stability study of the equilibria allow us to give explicit formulations of an extinction threshold and an threshold which can lead to explosion of solutions. We numerically obtain the possibility to get a limit cycle and the convergence to a coexistence equilibrium of the populations. In a specific case, this model rewrites as a delay differential system. Using Lyapunov functional, we show the global stability of this equilibrium under some assumptions. We also study two size-structured models that come from cellular dynamics. The first one consists on two transport equations, where the cell can either proliferate or be quiescent, and the second one is a transport-diffusion equation with Feller boundary conditions. The irreducibility of the semigroup governing this latter model is always satisfied using the Hopf maximum principle. However, the irreducibility for the first model is true only under a necessary and sufficient condition that we give. We also show for these two models, using some weak compactness arguments in L1, the existence of a `spectral gap' (essential type strictly less than the type) ensuring the asynchronous exponential growth of the semigroup.


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  • Sous le titre : Comportement asymptotique de modèles de populations structurées
  • Détails : 1 vol.(177p.)
  • Annexes : Bibliogr.p.167-177
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