Théorèmes limite pour un processus de Galton-Watson multi-type en environnement aléatoire indépendant

par Thi Da Cam Pham

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Marc Peigné.

Soutenue le 05-12-2018

à Tours , dans le cadre de École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire) , en partenariat avec Institut Denis Poisson (Orléans, Tours ; 2018-...) (équipe de recherche) .

Le président du jury était Sara Brofferio.

Le jury était composé de Émile Le Page, Kilian Raschel.

Les rapporteurs étaient Gerold Alsmeyer, Jean-François Delmas.

mots clés

• Chaines de Markov
• Markov, Processus de
• Matrices aléatoires
• Point critique
• Théorèmes des limites (théorie des probabilités)
• Théorie ergodique
• Graphes, Théorie des

Résumé

La théorie des processus de branchement multi-type en environnement i.i.d. est considérablement moins développée que dans le cas univarié, et les questions fondamentales ne sont pas résolues en totalité à ce jour. Les réponses exigent une compréhension profonde du comportement des produits des matrices i.i.d. à coefficients positifs. Sous des hypothèses assez générales et lorsque les fonctions génératrices de probabilité des lois de reproduction sont “linéaire fractionnaires”, nous montrons que la probabilité de survie à l’instant n du processus de branchement multi-type en environnement aléatoire est proportionnelle à 1/√n lorsque n → ∞. La démonstration de ce résultat suit l’approche développée pour étudier les processus de branchement uni-variés en environnement aléatoire i. i. d. Il utilise de façon cruciale des résultats récents portant sur les fluctuations des normes de produits de matrices aléatoires i.i.d.

mots clés

• Multi-type branching process
• Survival probability
• Random environment
• Critical case
• Exit time
• Markov chains
• Product of random matrices

Titre traduit

Limit theorems for a multi-type Galton-Watson process in random independent environment

Résumé

The theory of multi-type branching process in i.i.d. environment is considerably less developed than for the univariate case, and fundamental questions are up to date unsolved. Answers demand a solid understanding of the behavior of products of i.i.d. matrices with non-negative entries. Under mild assumptions, when the probability generating functions of the reproduction laws are fractional-linear, the survival probability of the multi-type branching process in random environment up to moment n is proportional to 1/√n as n → ∞. Techniques for univariate branching process in random environment and methods from the theory of products of i.i.d. random matrices are required.