Higher-order adaptive methods for fluid-dynamics

par Rajarshi Roy Chowdhury

Thèse de doctorat en Mécanique des fluides

Sous la direction de Stéphane Popinet et de Stef Graillat.

Le président du jury était Stéphane Vincent.

Le jury était composé de Ivan Delbende.

Les rapporteurs étaient Donna Calhoun, Frédéric Golay.

  • Titre traduit

    Méthodes adaptatives d’ordre élevé pour la mécanqiue des fluides


  • Résumé

    Les fluides (gaz et liquides) existent partout autour de nous. Alors que l’eau recouvre 70% de la croûte terrestre, des couches de gaz comme l’azote et l’oxygène entoure notre planète. Le domaine de la dynamique des fluides comprend l’étude des liquides ou des gaz en mouvement. Les équations qui régissent le mouvement des fluides à savoir les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non-linéaires complexes qui n’ont pas de solutions analytiques pour la plupart des problèmes d’intérêt pratique. Cependant, en utilisant des schémas numériques, ces équations aux dérivées partielles de variables continues peuvent être transformées en d’énormes systèmes algébriques de variables discrètes et résolues à l’aide d’ordinateurs à haute-performance. Une méthode numérique résolue sur un dispositif informatique introduira des erreurs dans la solution finale, nécessitera une quantité donnée de ressources de calcul comme la mémoire et le processeur, et prendra une quantité finie de temps pour parvenir à une solution. Ainsi, le développement d’algorithmes plus précis et plus rapides pour résoudre numériquement les équations d’un système de dynamique des fluides est un domaine de recherche en évolution constante. Le présent document est dédié à la fois à l’étude des algorithmes numériques d’ordre peu élevé, ainsi qu’à la mise en œuvre de méthodes existantes ou le développement et la mise en œuvre de nouvelles méthodes d’ordre supérieur, pertinentes pour la résolution des équations de Navier–Stokes incompressibles. L’ensemble du travail a été effectué sur le solveur adaptatif Cartésien d’équations fluides Basilisk. Nous recherchons en particulier des solveurs pour la convection–diffusion, les équations de Poisson–Helmholtz, les schémas temporels et les équations de Saint-Venant. Nous examinons des méthodes de maillage adaptatif pour résoudre ces équations et prenons l’implémentation de Basilisk de l’algorithme adaptatif en ondelettes sur quad-octree comme point de départ pour construire un nouveau schéma adaptatif d’ordre supérieur. Un thème récurrent tout au long de cette thèse est la comparaison de la précision et des performances informatiques de différents schémas d’ordre supérieur par rapport à leurs homologues d’ordre inférieur.


  • Résumé

    Fluids (gases and liquids) exist everywhere around us. Water covers 70% of the Earth’s crust and gases like nitrogen and oxygen surround the planet. The field of fluid dynamics involves the study of liquids or gases in motion. The equations which govern the motion of fluids viz. The Navier–Stokes equations, are complex non-linear partial differential equations which do not have closed-form analytical solutions for most problems of practical interest. However, using numerical schemes, these partial differential equations of continuous variables can be transformed into huge algebraic systems of discrete variables and solved using high-performance computers. A numerical method solved on a computing device will introduce errors in the final solution, will require a given amount of computational resource like memory and processor, and will take a finite amount of time to reach a solution. Thus the development of more accurate and faster algorithms to numerically model the equations of fluid dynamics is a constantly evolving research field. The present document is dedicated to both the study of existing lower-order numerical algorithms as well as either the implementation of existing or development and implementation of new higher-order algorithms, relevant for solving the incompressible Navier–Stokes equations. The entire work has been carried out on the adaptive Cartesian solver for fluid equations Basilisk. We specifically research solvers for convection–diffusion, Poisson–Helmholtz equations, time-marching schemes, and for the shallow-water equations. We look at adaptive mesh methods for solving these equations and taking the Basilisk implementation of the adaptive wavelet algorithm on a quad-octrees as our starting point, we build a novel higher-order adaptive scheme. A recurring theme throughout this thesis is the comparison in accuracy and computing performance of different higher-order schemes when compared to their lower-order counterparts.


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