Modèle de forêts enracinées sur des cycles et modèle de perles via les dimères

par Wangru Sun

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Béatrice de Tilière et de Cédric Boutillier.

Soutenue le 07-02-2018

à Sorbonne université , dans le cadre de École doctorale de Sciences mathématiques de Paris Centre (Paris) , en partenariat avec Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires / LPMA (laboratoire) .

Le président du jury était Nathanaël Enriquez.

Le jury était composé de Arnaud Le Ny, Zhan Shi.

Les rapporteurs étaient David Cimasoni, Thomas Fernique.

  • Titre traduit

    Cycle-rooted-spanning-forest model and bead model via dimers


  • Résumé

    Le modèle de dimères, également connu sous le nom de modèle de couplage parfait, est un modèle probabiliste introduit à l'origine dans la mécanique statistique. Une configuration de dimères d'un graphe est un sous-ensemble des arêtes tel que chaque sommet est incident à exactement une arête. Un poids est attribué à chaque arête et la probabilité d'une configuration est proportionnelle au produit des poids des arêtes présentes. Dans cette thèse, nous étudions principalement deux modèles qui sont liés au modèle de dimères, et plus particulièrement leur comportements limites. Le premier est le modèle des forêts couvrantes enracinées sur des cycles (CRSF) sur le tore, qui sont en bijection avec les configurations de dimères via la bijection de Temperley. Dans la limite quand la taille du tore tend vers l'infini, la mesure sur les CRSF converge vers une mesure de Gibbs ergodique sur le plan tout entier. Nous étudions la connectivité de l'objet limite, prouvons qu'elle est déterminée par le changement de hauteur moyen de la mesure de Gibbs ergodique et donnons un diagramme de phase. Le second est le modèle de perles, un processus ponctuel sur $\mathbb{Z}\times\mathbb{R}$ qui peut être considéré comme une limite à l'échelle du modèle de dimères sur un réseau hexagonal. Nous formulons et prouvons un principe variationnel similaire à celui du modèle dimère \cite{CKP01}, qui indique qu'à la limite de l'échelle, la fonction de hauteur normalisée d'une configuration de perles converge en probabilité vers une surface $h_0$ qui maximise une certaine fonctionnelle qui s'appelle "entropie". Nous prouvons également que la forme limite $h_0$ est une limite de l'échelle des formes limites de modèles de dimères. Il existe une correspondance entre configurations de perles et (skew) tableaux de Young standard, qui préserve la mesure uniforme sur les deux ensembles. Le principe variationnel du modèle de perles implique une forme limite d'un tableau de Young standard aléatoire. Ce résultat généralise celui de \cite{PR}. Nous dérivons également l'existence d'une courbe arctique d'un processus ponctuel discret qui encode les tableaux standard, defini dans \cite{Rom}.


  • Résumé

    The dimer model, also known as the perfect matching model, is a probabilistic model originally introduced in statistical mechanics. A dimer configuration of a graph is a subset of the edges such that every vertex is incident to exactly one edge of the subset. A weight is assigned to every edge, and the probability of a configuration is proportional to the product of the weights of the edges present. In this thesis we mainly study two related models and in particular their limiting behavior. The first one is the model of cycle-rooted-spanning-forests (CRSF) on tori, which is in bijection with toroidal dimer configurations via Temperley's bijection. This gives rise to a measure on CRSF. In the limit that the size of torus tends to infinity, the CRSF measure tends to an ergodic Gibbs measure on the whole plane. We study the connectivity property of the limiting object, prove that it is determined by the average height change of the limiting ergodic Gibbs measure and give a phase diagram. The second one is the bead model, a random point field on $\mathbb{Z}\times\mathbb{R}$ which can be viewed as a scaling limit of dimer model on a hexagon lattice. We formulate and prove a variational principle similar to that of the dimer model \cite{CKP01}, which states that in the scaling limit, the normalized height function of a uniformly chosen random bead configuration lies in an arbitrarily small neighborhood of a surface $h_0$ that maximizes some functional which we call as entropy. We also prove that the limit shape $h_0$ is a scaling limit of the limit shapes of a properly chosen sequence of dimer models. There is a map form bead configurations to standard tableaux of a (skew) Young diagram, and the map is measure preserving if both sides take uniform measures. The variational principle of the bead model yields the existence of the limit shape of a random standard Young tableau, which generalizes the result of \cite{PR}. We derive also the existence of an arctic curve of a discrete point process that encodes the standard tableaux, raised in \cite{Rom}.


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