On some constructions of contact manifolds

par Fabio Gironella

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Patrick Massot.

Soutenue le 13-07-2018

à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne) , en partenariat avec École polytechnique (Palaiseau, Essonne) (établissement opérateur d'inscription) et de Centre de mathématiques Laurent Schwartz (Palaiseau, Essonne) (laboratoire) .

Le président du jury était Claude Viterbo.

Le jury était composé de Patrick Massot, Claude Viterbo, Vincent Colin, Thomas Vogel, Frédéric Bourgeois, Klaus Niederkrüger, Paul Gauduchon.

Les rapporteurs étaient Vincent Colin, Hansjoerg Geiges.

  • Titre traduit

    Sur quelques constructions de variétés de contact


  • Résumé

    Cette thèse est subdivisée en deux parties.La première partie porte sur l’étude de la topologie de l’espace des contactomorphismes pour quelques exemples explicites de variétés de contact en grandes dimensions. Plus précisément, en utilisant des constructions et résultats dus à Massot, Niederkrüger et Wendl, on construit, en chaque dimension impaire, une infinité d’exemples de contactomorphismes de variétés de contact vrillées fermées qui sont lissement isotopes mais pas contact-isotopes à l’identité. On donne aussi,en toutes dimensions impaires, des exemples de variétés de contact tendues fermées qui admettent un contactomorphisme tel que tous ses itérées sont lissement isotopes mais pas contacto-isotopes à l’identité ; ceci généralise un résultat en dimension 3 dû à Ding et Geiges.Dans la deuxième partie, on construit des exemples de variétés de contact fermées en grandes dimensions avec des propriétés particulières. Ceci nous amène à l’existence de structures tendues virtuellement vrillées en toutes dimensions impaires, et au fait que chaque variété de contact fermée de dimension 3 se plonge dans une variété de contact tendue fermée de dimension 5 avec fibré normal trivial. Pour cela, on utilise des constructions dues à Bourgeois (sur des produits avec des tores) et à Geiges (sur des revêtements ramifiés). On passe de ces constructions à des définitions ;ceci permet de prouver un résultat d’unicité dans le cas des revêtements ramifiés de contact, et d’étudier leurs propriétés globales, en montrant qu’elles ne dépendent d’aucun choix auxiliaire fait dans les procédures. Un deuxième but permis par ces définitions est l’étude des relations entre ces constructions et les notions de livre ouvert porteur, due à Giroux, et de fibré de contact, due à Lerman. Par exemple, on donne une définition de structure de contact de Bourgeois qui est locale,inclue (strictement) les résultats de la construction de Bourgeois et permet de récupérer une classe d’isotopie de livres ouverts porteurs sur les fibres ; ceci suit d’une réinterprétation, inspirée par une idée de Giroux, des livres ouverts porteurs en termes de paires de champs de vecteurs de contact.


  • Résumé

    This thesis is divided in two parts.The first part focuses on the study of the topology of the contactomorphism group of some explicit high dimensional contact manifolds. More precisely, using constructions and results by Massot, Niederkrüger and Wendl, we construct (infinitely many) examples in all dimensions of contactomor-phisms of closed overtwisted contact manifolds that are smoothly isotopic but not contact-isotopicto the identity. We also give examples of tight high dimensional contact manifolds admitting a contactomorphism whose powers are all smoothly isotopic but not contact-isotopic to the identity ;this is a generalization of a result in dimension 3 by Ding and Geiges.In the second part, we construct examples of higher dimensional contact manifolds with specific properties. This leads us to the existence of tight virtually overtwisted closed contact manifolds in all dimensions and to the fact that every closed contact 3-manifold embeds with trivial nor-mal bundle inside a tight closed contact 5-manifold. This uses known construction procedures byBourgeois (on products with tori) and Geiges (on branched covering spaces). We pass from these procedures to definitions ; this allows to prove a uniqueness statement in the case of contact branched coverings, and to study the global properties (such as tightness and fillability) of the results of both constructions without relying on any auxiliary choice in the procedures. A second goal allowed by these definitions is to study relations between these constructions and the notions of supporting open book, due to Giroux, and of contact fiber bundle, due to Lerman. For instance,we give a definition of Bourgeois contact structures on flat contact fiber bundles which is local,(strictly) includes the results of Bourgeois’ construction, and allows to recover an isotopy class of supporting open books on the fibers. This last point relies on a reinterpretation, inspired by anidea by Giroux, of supporting open books in terms of pairs of contact vector fields.


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