On the controllability of the quantum dynamics of closed and open systems

par Lorenzo Pinna

Thèse de doctorat en Math?matiques aux interfaces

Sous la direction de Ugo Boscain.

Soutenue le 26-01-2018

à Paris Saclay en cotutelle avec l'Universit? degli studi La Sapienza (Rome) , dans le cadre de ?cole doctorale de math?matiques Hadamard (Orsay, Essonne) , en partenariat avec ?cole polytechnique (Palaiseau, Essonne) (?tablissement op?rateur d'inscription) et de Centre de math?matiques appliqu?es-CMAP [Palaiseau, Essonne] (laboratoire) .

Le président du jury était Riccardo Adami.

Le jury était composé de Ugo Boscain, Gianluca Panati, Paolo Mason, Davide Barilari, Luigi Barletti.

Les rapporteurs étaient Philippe Jouan.

  • Titre traduit

    Sur la contr?labilit? de la dynamique quantique des syst?mes ferm?s et ouverts


  • Résumé

    On etudie la contr?labilit? des syst?mes quantiques dans deux contextes diff?rents: le cadre standard ferm?, dans lequel un syst?me quantique est consid?r? comme isol? et le probl?me de contr?le est formul? sur l'?quation de Schr?dinger; le cadre ouvert qui d?crit un syst?me quantique en interaction avec un plus grand, dont seuls les param?tres qualitatifs sont connus, au moyen de l'?quation de Lindblad sur les ?tats.Dans le contexte des syst?mes ferm?s on se focalise sur la classe int?ressante des syst?mes spin-boson, qui d?crivent l'interaction entre un syst?me quantique ? deux niveaux et un nombre fini de modes distingu?s d'un champ bosonique. On consid?re deux exemples prototypiques, le mod?le de Rabi et le mod?le de Jaynes-Cummings qui sont encore tr?s populaires dans plusieurs domaines de la physique quantique. Notamment, dans le contexte de la Cavity Quantum Electro Dynamics (C-QED), ils fournissent une description pr?cise de la dynamique d'un atome ? deux niveaux dans une cavit? micro-onde en r?sonance, comme dans les exp?riences r?centes de S. Haroche. Nous ?tudions les propri?t?s de contr?labilit? de ces mod?les avec deux types diff?rents d'op?rateurs de contr?le agissant sur la partie bosonique, correspondant respectivement ? dans l'application ? la C-QED ? ? un champ ?lectrique et magn?tique externe. On passe en revue quelques r?sultats r?cents et prouvons la contr?labilit? approximative du mod?le de Jaynes-Cummings avec ces contr?les. Ce r?sultat est bas? sur une analyse spectrale exploitant les non-r?sonances du spectre. En ce qui concerne la relation entre l'Hamiltonien de Rabi et Jaynes-Cummings nous traitons dans un cadre rigoureux l'approximation appel?e d'onde tournante. On formule le probl?me comme une limite adiabatique dans lequel la fr?quence de detuning et le param?tre de force d'interaction tombent ? zero, ce cas est connu sous le nom de r?gime de weak-coupling. On prouve que, sous certaines hypoth?ses sur le rapport entre le detuning et le couplage, la dynamique de Jaynes-Cumming et Rabi montrent le m?me comportement, plus pr?cis?ment les op?rateurs d'?volution qu'ils g?n?rent sont proches ? la norme.Dans le cadre des syst?mes quantiques ouverts nous ?tudions la contr?labilit? de l'?quation de Lindblad. Nous consid?rons un contr?le agissant adiabatiquement sur la partie interne du syst?me, que nous voyons comme un degr? de libert? qui peut ?tre utilis? pour contraster l'action de l'environnement. L'action adiabatique du contr?le est choisie pour produire une transition robuste. On prouve, dans le cas prototype d'un syst?me ? deux niveaux, que le syst?me approche un ensemble de points d'?quilibre d?termin?s par l'environnement, plus pr?cis?ment les param?tres qui sp?cifient l'op?rateur de Lindblad. Sur cet ensemble, le syst?me peut ?tre pilot? adiabatiquement en choisissant un contr?le appropri?. L'analyse est fond?e sur l'application de m?thodes de perturbation g?om?trique singuli?re.


  • Résumé

    We investigate the controllability of quantum systems in two differentsettings: the standard 'closed' setting, in which a quantum system is seen as isolated, the control problem is formulated on the Schroedinger equation; the open setting that describes a quantum system in interaction with a larger one, of which just qualitative parameters are known, by means of the Lindblad equation on states.In the context of closed systems we focus our attention to an interesting class ofmodels, namely the spin-boson models. The latter describe the interaction between a 2-level quantum system and finitely many distinguished modes of a bosonic field. We discuss two prototypical examples, the Rabi model and the Jaynes-Cummings model, which despite their age are still very popular in several fields of quantum physics. Notably, in the context of cavity Quantum Electro Dynamics (C-QED) they provide an approximate yet accurate description of the dynamics of a 2-level atom in a resonant microwave cavity, as in recent experiments of S. Haroche. We investigate the controllability properties of these models, analyzing two different types of control operators acting on the bosonic part, corresponding -in the application to cavity QED- to an external electric and magnetic field, respectively. We review some recent results and prove the approximate controllability of the Jaynes-Cummings model with these controls. This result is based on a spectral analysis exploiting the non-resonances of the spectrum. As far as the relation between the Rabi andthe Jaynes-Cummings Hamiltonians concerns, we treat the so called rotating waveapproximation in a rigorous framework. We formulate the problem as an adiabaticlimit in which the detuning frequency and the interaction strength parameter goes to zero, known as the weak-coupling regime. We prove that, under certain hypothesis on the ratio between the detuning and the coupling, the Jaynes-Cumming and the Rabi dynamics exhibit the same behaviour, more precisely the evolution operators they generate are close in norm.In the framework of open quantum systems we investigate the controllability ofthe Lindblad equation. We consider a control acting adiabatically on the internal part of the system, which we see as a degree of freedom that can be used to contrast the action of the environment. The adiabatic action of the control is chosen to produce a robust transition. We prove, in the prototype case of a two-level system, that the system approach a set of equilibrium points determined by the environment, i.e. the parameters that specify the Lindblad operator. On that set the system can be adiabatically steered choosing a suitable control. The analysis is based on the application of geometrical singular perturbation methods.


Il est disponible au sein de la bibliothèque de l'établissement de soutenance.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : École polytechnique. Bibliothèque Centrale.
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.