Problèmes de transport et de contrôle avec coûts sur le bord : régularité et sommabilité des densités optimales et d'équilibre

par Samer Dweik

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Filippo Santambrogio.

Soutenue le 12-07-2018

à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques d'Orsay (laboratoire) et de Université Paris-Sud (établissement opérateur d'inscription) .

Le président du jury était Pierre Pansu.

Le jury était composé de Filippo Santambrogio, Pierre Pansu, Piermarco Cannarsa, Piotr Rybka, Chloé Jimenez, Noureddine Igbida.

Les rapporteurs étaient Piermarco Cannarsa, Luigi De Pascale.


  • Résumé

    Une première partie de cette thèse est dédiée à l’étude de la régularité de la densité de transport sigma dans le problème de Monge entre deux mesures f^+ et f^- sur un domaine Omega. Tout d’abord, on étudie la question de la sommabilité L^p de cette densité de transport entre une mesure f^+ et sa projection sur le bord (P)# f^+, qui ne découle pas en fait des résultats connus (dus à De Pascale - Evans - Pratelli - Santambrogio) sur la densité de transport entre deux densités L^p, comme dans notre cas la mesure cible est singulière. Par une méthode de symétrisation, dès que Omega est convexe ou satisfait une condition de boule uniforme extérieure, nous prouvons les estimations L^p (si f^+ in L^p, alors sigma in L^p). En plus, nous analysons le cas où on paye des coûts supplémentaires g^± sur le bord, en prouvant que la densité de transport est dans L^p dès que f^± in L^p, Omega satisfait une condition de boule uniforme extérieure et, g^± sont lambda^± Lipschitiziens avec lambda^± < 1 et semi-concaves. Ensuite, on s’attaque à la régularité d’ordre supérieur (W^{1,p}, C^{0,alpha}, BV · · ·) de la densité de transport sigma entre deux densités régulières f^+ et f^-. Plus précisément, nous fournissons une famille de contre-exemples à la régularité supérieure: nous prouvons que la régularité W^{1,p} des mesures source et cible, f^+ et f^-, n’implique pas que la densité de transport est W^{1,p}, de même pour la régularité BV, et même f^± in C^infty n’implique pas que sigma est dans W^{1,p}, pour p grand. Ensuite, nous étudions la sommabilité L^p de la densité de transport entre deux mesures f^+ et f^- concentrées sur le bord. Plus précisément, nous prouvons que si f^+ et f^- sont dans L^p(partialOmega), alors la densité de transport sigma entre eux est dans L^p(Omega) dès que Omega est uniformément convexe et p leq 2; de plus, nous introduisons un contre-exemple montrant que ce résultat n’est plus vrai si p > 2. Cela fournit des résultats de régularité W^{1,p} sur la solution u du problème de gradient minimal avec donnée au bord g dans des domaines uniformément convexes (si g in W^{1,p}(partialOmega) alors u in W^{1,p}(Omega)).Dans une deuxième partie, nous étudions un problème de contrôle optimal motivé par un modèle de jeux à champ moyen. D’abord, nous montrons des résultats de différentiabilité et semi-concavité sur la fonction valeur associée au problème de contrôle (le résultat de semi-concavité est optimal en ce qui concerne les hypothèses sur la régularité en temps). Ensuite, nous démontrons que la densité des agents rho_t, dans le modèle MFG considéré, est dans L^p dès que la densité initiale rho_0 in L^p. En plus, nous arrivons à prouver l’existence d’un équilibre pour le problème MFG considéré dans un cas où la dynamique n’est pas régulière.Dernièrement, nous considérons le problème stationnaire associé au problème MFG. Nous montrons que la densité d’équilibre n’est rien d’autre que la densité de transport entre une densité source f et sa projection sur le bord en utilisant une métrique Riemannienne non-uniforme comme coût de transport. Cela nous permet de démontrer que la densité d’équilibre rho est dans L^p dès que la densité source f in L^p. Par conséquent, nous arrivons à prouver aussi l’existence d’un équilibre stationnaire dans un cas où la dynamique n’est pas régulière.

  • Titre traduit

    Transport and control problems with boundary costs : regularity and summability of optimal and equilibrium densities


  • Résumé

    A first part of this thesis is dedicated to the study of the regularity of the transport density sigma in the Monge problem between two measures f^+ and f^- on a domain Omega. First, we study the question of L^p summability of this transport density between a measure f^+ and its projection on the boundary (P)# f^+, which does not actually follow from the known results (due to De Pascale, Evans, Pratelli, Santambrogio) on the transport density between two L^p densities, as in our case the target measure is singular. By a symmetrization trick, if Omega is convex or satisfies a uniform exterior ball condition, we prove the L^p estimates (if f^+ in L^p, then sigma in L^p). In addition, we analyze the case where we pay additional costs g^± on the boundary, proving that the transport density sigma is in L^p as soon as f^± in L^p, Omega satisfies a uniform exterior ball condition and, g^± are lambda^± Lip with lambda^± < 1 and semi-concave. Then we attack the higher-order regularity (W^{1,p}, C^{0,alpha}, BV · · ·) of the transport density sigma between two regular densities f^+ and f^-. More precisely, we provide a family of counter-examples to the higher regularity: we prove that the W^{1,p} regularity of the source and target measures, f^+ and f^-, does not imply that the transport density is in W^{1,p}, the same for the BV regularity, and even f^± in C^infty does not imply that sigma is in W^{1,p}, for large p. Next, we study the L^p summability of the transport density between two measures, f^+ and f^-, concentrated on the boundary. More precisely, we prove that if f^+ and f^- are in L^p(partialOmega), then the transport density sigma between them is in L^p(Omega) as soon as Omega is uniformly convex and p leq 2; moreover, we introduce a counter-example showing that this result is no longer true if p > 2. This provides W^{1,p} regularity results on the solution u of the least gradient problem with boundary datum g in uniformly convex domains (if g in W^{1,p}(partialOmega) then u in W^{1,p}(Omega)).In a second part, we study an optimal control problem motivated by a model of mean field games. First, we show differentiability and semi-concavity results on the value function associated with the control problem (the semi-concavity result will be sharp in regards to the hypotheses on the regularity in time). Then we show that the density of agents rho_t, in the considered MFG model, is in L^p as soon as the initial density rho_0 in L^p. In addition, we prove existence of an equilibrium for the considered MFG problem in a case where the dynamic is non-regular.Lastly, we consider the stationary problem associated with the MFG model. We show that the equilibrium density is nothing but the transport density between a source density f and its projection on the boundary using a non-uniform Riemannian metric as a transport cost. This allows us to show that the equilibrium density rho is in L^p as soon as the source density f in L^p. Therefore, we also prove existence of a stationary equilibrium in a case where the dynamic is non-regular.


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