Applications de la géométrie paramétrique des nombres à l'approximation diophantienne

par Anthony Poëls

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Stéphane Fischler.

Soutenue le 18-05-2018

à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques d'Orsay (laboratoire) et de Université Paris-Sud (établissement opérateur d'inscription) .

Le président du jury était Yann Bugeaud.

Le jury était composé de Stéphane Fischler, Yann Bugeaud, Patrice Philippon, Damien Roy, Michel Waldschmidt, Etienne Fouvry.

Les rapporteurs étaient Patrice Philippon, Damien Roy.


  • Résumé

    Pour un réel ξ qui n’est pas algébrique de degré ≤ 2, on peut définir plusieurs exposants diophantiens qui mesurent la qualité d’approximation du vecteur (1, ξ, ξ² ) par des sous-espaces de ℝ³ définis sur ℚ de dimension donnée. Cette thèse s’inscrit dans l’étude de ces exposants diophantiens et des questions relatives à la détermination de leur spectre. En utilisant notamment les outils modernes de la géométrie paramétrique des nombres, nous construisons une nouvelle famille de réels – appelés nombres de type sturmien – et nous déterminons presque complètement le 3-système qui leur est associé. Comme conséquence, nous en déduisons la valeur de leurs exposants diophantiens et certaines informations sur les spectres. Nous considérons également le problème plus général de l’allure d’un 3-système associé à un vecteur de la forme (1, ξ, ξ ²), en formulant entre autres certaines contraintes qui n’existent pas pour un vecteur (1, ξ, η) quelconque, et en explicitant les liens qu’il entretient avec la suite des points minimaux associée à ξ. Sous certaines conditions de récurrence sur la suite des points minimaux nous montrons que nous retrouvons les 3-systèmes associés aux nombres de type sturmien.

  • Titre traduit

    Applications of parametric geometry in diophantine approximation


  • Résumé

    Given a real number ξ which is not algebraic of degree ≤ 2 one may defineseveral diophantine exponents which measure how “well” the vector (1, ξ, ξ ²) can be approximated by subspaces of fixed dimension defined over ℚ. This thesis is part of the study of these diophantine exponents and their spectra. Using the parametric geometry of numbers, we construct a new family of numbers – called numbers of sturmian type – and we provide an almost complete description of the associated 3-system. As a consequence, we determine the value of the classical exponents for numbers of sturmian type, and we obtain new information on their joint spectra. We also take into consideration a more general problem consisting in describing a 3-system associated with a vector (1, ξ, ξ²). For instance we formulate special constraints which do not exist for a general vector (1, ξ, η) and we also clarify connections between a 3-system which represents ξ and the sequence of minimal points associated to ξ. Under a specific recurrence relation hypothesis on the sequence of minimal points, we show that the previous 3-system has the shape of a 3-system associated to a number of sturmian type.


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