A model reduction approach in space and time for fatigue damage simulation

par Mainak Bhattacharyya

Thèse de doctorat en Mécanique des solides

Sous la direction de David Néron.

Soutenue le 08-05-2018

à Paris Saclay en cotutelle avec l'Universität Hannover (Hanovre, Allemagne) , dans le cadre de Sciences mécaniques et énergétiques, matériaux, géosciences , en partenariat avec Ecole normale supérieure Paris-Saclay (établissement opérateur d'inscription) et de Laboratoire de mécanique et technologie (Cachan, Val-de-Marne) (laboratoire) .

Le président du jury était David Dureisseix.

Le jury était composé de David Néron, David Dureisseix, Stefanie Reese, Udo Nackenhorst, Guillaume Puel, Amélie Fau, Peter Schaumann, Michael Beer.

Les rapporteurs étaient David Dureisseix, Stefanie Reese.

  • Titre traduit

    Une approche de réduction de modèles en temps et espace pour le calcul de l´endommagement par fatigue


  • Résumé

    L'objet de ce projet de recherche est de prédire la durée de vie d'éléments mécaniques qui sont soumis à des phénomènes de fatigue cyclique. L'idée est de développer un schéma numérique novateur pour prédire la rupture de structures sous de tels chargements. Le modèle est basé sur la mécanique des milieux continus qui introduit des variables internes pour décrire l'évolution de l'endommagement. Le défi repose dans le traitement des cycles de chargement pour la prédiction de la durée de vie, particulièrement pour la prédiction de la durée de vie résiduelle de structures existantes. Les approches traditionnelles de l'analyse de la fatigue sont basées sur des méthodes phénoménologiques utilisant des relations empiriques. De telles méthodes considèrent des approximations simplificatrices et sont incapables de prendre en compte aisément des géométries ou des charges complexes associées à des problèmes d'ingénierie réels. Une approche basée sur la description de l'évolution thermodynamique d'un milieu continu est donc utilisée pour modéliser le comportement en fatigue. Cela permet de considérer efficacement des problèmes d'ingénierie complexe et la détérioration des propriétés du matériau due à la fatigue peut être quantifiée à l'aide de variables internes. Cependant, cette approche peut être numériquement coûteuse et, par conséquent, des approches numériques sophistiquées doivent être utilisées.La stratégie numérique sur laquelle ce projet est basé est singulière par rapport aux schémas incrémentaux en temps usuellement utilisés pour résoudre des problèmes élasto-(visco)plastique avec endommagement dans le cadre de la mécanique des milieux continus. Cette stratégie numérique appelée méthode LATIN (Large Time Increment method) est une méthode non-incrémentale qui recherche la solution de manière itérative sur l'ensemble du domaine spacio-temporel. Une importante innovation de la méthode LATIN est d'incorporer une stratégie de réduction de modèle adaptative pour réduire de manière très importante le coût numérique. La Décomposition Propre Généralisée (PGD) est une stratégie de réduction de modèle a priori qui sépare les quantités d'intérêt spacio-temporelles en deux composantes indépendantes, l'une dépendant du temps, l'autre de l'espace, et estime itérativement les approximations de ces deux composantes. L'utilisation de l'approche LATIN-PGD a montré son efficacité depuis des années pour résoudre des problèmes élasto-(visco)plastiques. La première partie de ce projet vise à étendre cette approche aux modèles incorporant de l'endommagement.Bien que l'utilisation de la PGD réduise les coûts numériques, le gain n'est pas suffisant pour permettre de résoudre des problèmes considérant un grand nombre de cycles de chargement, le temps de calcul peut être très conséquent, rendant les simulations de problèmes de fatigue intraitables même en utilisant les techniques LATIN-PGD. Cette limite peut être dépassée en introduisant une approche multi-échelle en temps, qui prend en compte l'évolution rapide des quantités d'intérêt lors d'un cycle et leur évolution lente au cours de l'ensemble des cycles. Une description type « éléments finis » en temps est proposée, où l'ensemble du domaine temporel est discrétisé en éléments temporels, et seulement les cycles nodaux, qui forment les limites des éléments, sont calculés en utilisant la technique LATIN-PGD. Puis, des fonctions de forme classiques sont utilisées pour interpoler les quantités d'intérêt à l'intérieur des éléments temporels. Cette stratégie LATIN-PGD à deux échelles permet de réduire le coût numérique de manière significative, et peut être utilisée pour simuler l'évolution de l'endommagement dans une structure soumise à un chargement de fatigue comportant un très grand nombre de cycles.


  • Résumé

    The motivation of the research project is to predict the life time of mechanical components that are subjected to cyclic fatigue phenomena. The idea herein is to develop an innovative numerical scheme to predict failure of structures under such loading. The model is based on classical continuum damage mechanics introducing internal variables which describe the damage evolution. The challenge lies in the treatment of large number of load cycles for the life time prediction, particularly the residual life time for existing structures.Traditional approaches for fatigue analysis are based on phenomenological methods and deal with the usage of empirical relations. Such methods consider simplistic approximations and are unable to take into account complex geometries, and complicated loadings which occur in real-life engineering problems. A thermodynamically consistent continuum-based approach is therefore used for modelling the fatigue behaviour. This allows to consider complicated geometries and loads quite efficiently and the deterioration of the material properties due to fatigue can be quantified using internal variables. However, this approach can be computationally expensive and hence sophisticated numerical frameworks should be used.The numerical strategy used in this project is different when compared to regular time incremental schemes used for solving elasto-(visco)plastic-damage problems in continuum framework. This numerical strategy is called Large Time Increment (LATIN) method, which is a non-incremental method and builds the solution iteratively for the complete space-time domain. An important feature of the LATIN method is to incorporate an on-the-fly model reduction strategy to reduce drastically the numerical cost. Proper generalised decomposition (PGD), being a priori a model reduction strategy, separates the quantities of interest with respect to space and time, and computes iteratively the spatial and temporal approximations. LATIN-PGD framework has been effectively used over the years to solve elasto-(visco)plastic problems. Herein, the first effort is to solve continuum damage problems using LATIN-PGD techniques. Although, usage of PGD reduces the numerical cost, the benefit is not enough to solve problems involving large number of load cycles and computational time can be severely high, making simulations of fatigue problems infeasible. This can be overcome by using a multi-time scale approach, that takes into account the rapid evolution of the quantities of interest within a load cycle and their slow evolution along the load cycles. A finite element like description with respect to time is proposed, where the whole time domain is discretised into time elements, and only the nodal cycles, which form the boundary of the time elements, are calculated using LATIN-PGD technique. Thereby, classical shape functions are used to interpolate within the time element. This two-scale LATIN-PGD strategy enables the reduction of the computational cost remarkably, and can be used to simulate damage evolution in a structure under fatigue loading for a very large number of cycles.

  • Titre traduit

    Ein Modellreduktionsverfahren in Raum und Zeit für die Ermüdungs-Schädigungs Simulation


  • Résumé

    Das Ziel des Forschungsprojektes ist es, die Lebensdauer mechanischer Tragwerke unter zyklischen Ermüdungsphänomenen vorherzusagen. Die zugrunde liegende Idee ist, ein innovatives numerisches Schema zu entwickeln, um das Versagen der Strukturen unter bestimmten Belastungen zu berechnen. Für das Kontinuumsmodell werden innere Variablen eingeführt, um die Entwicklung der Materialermüdung zu beschreiben. Die Herausforderung liegt dabei in der numerischen Behandlung der Belastungszyklen für die Voraussage der Lebensdauer, insbesondere für die Voraussage der Restlebensdauer der Strukturen.Traditionelle Ansätze zur Ermüdungsanalyse basieren auf phänomenologischen Methoden welche aus emperischen Beobachtungen abgeleitet werden. Solche Verfahren berücksichtigen einfache Annäherungen und können komplexe Geometrien und komplizierte Belastungen, die in realen technischen Problemen auftreten, nicht abbilden. Zur Modellierung des Ermüdungsverhaltens wird daher ein thermodynamisch konsistenter kontinuumsbasierter Ansatz verwendet. Dieser ermöglicht es, komplizierte Geometrien und Lasten recht effizient zu betrachten, und die Verschlechterung der Materialeigenschaften aufgrund von Ermüdung kann unter Verwendung interner Variablen quantifiziert werden. Dieser Ansatz kann jedoch numerisch teuer sein und daher sollten effiziente numerische Techniken entwickelt werden.In diesem Projekt wird eine innovative numerische Strategie basierend auf einer nicht-zeitinkrementellen Lösung von elasto-(visko)plastischen Schädigungsproblemen in der Kontinuumsmechanik vorgestellt. Diese numerische Strategie basiert auf der sogenannten LATIN Methode (Large Time Increment method). Bei dieser nicht-inkrementellen Methode wird iterativ im vollständigen Zeit-Raum Bereich eine Lösung gesucht. Eine wichtige Eigenschaft der LATIN Methode ist eine ad hoc Modellsreduktionsstrategie um die Rechnenkosten zu reduzieren. Die „Proper Generalised Decomposition“ (PGD) ist eine a priori Modellreduktionsstrategie, die in Raum und Zeit die Variablen in zwei unabhängige Teile auftrennt, einen zeitabhängigen und einen raumabhängigen. Iterativ wird eine Approximation dieser beiden Anteile gesucht. Die Effektivität des LATIN-PGD Verfahrens ist seit Jahren für die Lösung von elasto-(visko)plastischen Problemen nachgewiesen. Der erste Teil dieses Projektes zielt auf die Erweiterung dieser Methode für Schädigungsmodelle ab.Obwohl die Anwendung des LATIN-PGD Verfahrens die numerischen Kosten reduziert, ist die Ersparnis nicht groß genug, um Probleme mit vielen Belastungszyklen lösen zu können. Dieses Problem soll mit einem Mehrskalenansatz in der Zeit gelöst werden. Damit können schnelle Entwicklung der Variablen während eines Belastungszyklus erfasst und ihre langsame Evolution während vielen Zyklen abgebildet werden. Der Zeitbereich wird dabei mit diskontinuierlichen Finiten Elementen diskretisiert, während die Knotenzyklen, die die Grenzen der Zeitelemente bilden, mit der LATIN-PGD Technik beschrieben werden. Dafür werden klassische Ansatzsfunktionen benutzt, um die Variablen innerhalb der Zeitelemente zu interpolieren. Mit dieser innovativen Strategie werden die Rechnenkosten signifikant reduziert und die Simulation von Ermüdungsbelastung unter großen Lastzyklenzahlen ermöglicht.


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