Indices in number fields and their applications

par Mohammed Seddik

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Abdelmejid Bayad.

Soutenue le 20-06-2018

à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne) , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques et Modélisation d'Évry (Evry, Essonne) (laboratoire) et de Université d'Évry-Val-d'Essonne (établissement opérateur d'inscription) .

Le président du jury était Stéphane Louboutin.

Le jury était composé de Bernadette Perrin-Riou.

Les rapporteurs étaient Philippe Cassou-Noguès, Bouchaïb Sodaïgui.

  • Titre traduit

    Indices dans les corps de nombres et leurs applications


  • Résumé

    Dans la première partie de cette thèse, on considère les extensions cycliques simples K_m/Q de degré 4. Ces dernières sont les extensions quartiques définies par les polynômes irréductibles x^4-mx^3-6x^2+mx+1, où m est un entier tel que la partie impaire de m^2+16 est sans facteur carré. Nous étudions l'indice I(K_m) et déterminons la décomposition explicite des nombres premiers dans l'extension K_m/Q. Ensuite, nous calculons une formule asymptotique qui donne le nombre des K_m ayant le même indice, avec discriminant inférieur ou égal à x. Dans la seconde partie, nous étudions l'entier suivant introduit par Gunji et McQuillan : i(K)=ppcm{i(\theta} où i(\theta}=pgcd{F(x), x dans Z et F le polynôme caractéristique de \theta }. Nos principaux résultats pour cette partie sont les suivants : 1. Si p est un nombre premier inférieur ou égal à n, alors il existe un corps de nombres K de degré n tel que p divise i(K). 2. Nous calculons i(K) pour les corps de nombres cubiques, et nous déterminons I(K)$ et $i(K)$ pour des familles de corps de nombres de degré inférieur ou égal à 6. 3. Soit p un nombre premier. Nous prouvons que le type de décomposition de p dans O_K ne suffit pas pour déterminer complètement la valuation p-adique v_p(i(K)). Pour cela, nous donnons des exemples de deux corps de nombres K_1 et K_2 de degré 6, tels que le type de décomposition de 2 est P_1P_2 mais v_2(i(K_1)) est différente v_2(i(K_2)). 4. Nous répondons à deux questions posées dans par plusieurs auteurs. On étudie aussi une conjecture. Dans la dernière partie, nous appliquons les résultats sur l'indice des corps de nombres cubiques pour la résolution des équations cubiques de Thue ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3= k ainsi nous donnons des applications pour résoudre des formes homogènes cubiques et des courbes elliptiques.


  • Résumé

    In the first part, we consider the simplest quartic number fields K_m defined by the irreducible quartic polynomialsx^4-mx^3-6x^2+mx+1, where m runs over the positive rational integers such that the odd part of m^2+16 is square free. We study the index I( K_m) and determine the explicit prime ideal factorization of rational primes in simplest quartic number fields K_m. On the other hand, we establish an asymptotic formula for the number of simplest quartic fields with discriminant less than or equal to x and given index. In the second Part, we study the next integer introduced by Gunji and McQuillan : i(K)=lcm{i(\theta} where i(\theta}=gcd{F(x), x in Z and F is caractéristic polynomial de \theta } . Our main results for this part are:1. If p is a prime number less than or equal to n then there exists a number field K of degree n for which p divides i(K).2. We compute i(K) for cubic fields and we determine I(K) and i(K) for families of simplest number fields of degree less than 7.3. Let p be a prime number. We prove that p-adic valuation v_p(i(K)) is not determined only by the splitting type of p in O_K, we give examples of number fields K_1 and K_2 of degree 6 in which the prime 2 has the same splitting type P_1P_2 but v_2(i(K_1)) is different to v_2(i(K_2)).4. We give answers to the important questions. Furthermore, we discuss their conjecture.We investigate the index of algebraic integers in cubic number fields. Let a,b,c,d and k be integers. We then solve the following Thue cubic equations:ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3= k and we give applications to resolve the famous parametric families of cubic Thue equations, homogeneous Diophantine equations and twist elliptic curves.

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Indices in number fields and their applications


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Informations

  • Sous le titre : Indices in number fields and their applications
  • Détails : 1 vol. (119 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 115-119.
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