Descriptions déterministes de la turbulence dans les équations de Navier-Stokes

par Oscar Jarrín

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Pierre Gilles Lemarié-Rieusset et de Diego Chamorro.

Soutenue le 20-06-2018

à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne) , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques et Modélisation d'Évry (Evry, Essonne) (laboratoire) et de Université d'Évry-Val-d'Essonne (établissement opérateur d'inscription) .

Le président du jury était Roger Lewandowski.

Le jury était composé de Lorenzo Brandolese.

Les rapporteurs étaient Isabelle Gallagher, Taoufik Hmidi.


  • Résumé

    Cette thèse est consacrée à l'étude déterministe de la turbulence dans les équations de Navier-Stokes; et elle est divisée en quatre chapitres indépendants.Le premier chapitre s'agit d'une discussion rigoureuse sur l'étude la loi de dissipation d'énergie, proposée par théorie de la turbulence K41, dans le cadre déterministe des équations de Navier-Stokes homogènes et incompressibles, avec une force externe stationnaire (la force ne dépende que de la variable spatiale) et posées sur l'espace tout entier. Le but de ce chapitre est de mettre en évidence le fait que si nous considérons les équations de Navier-Stokes posées sur l'espace alors certains quantités physiques, nécessaires pour l'étude de la loi de dissipation de Kolmogorov, n'ont pas une définition rigoureuse et alors pour donner un sens à ces quantités on propose de considérer les équations de Navier-Stokes mais avec un terme additionnel d'amortissement . Dans le cadre de ces équations de Navier-Stokes amorties, on obtient des estimations du taux de dissipation d'énergie selon la loi de dissipation de Kolmogorov.Dans le deuxième chapitre on s'intéresse à l'étude des solutions stationnaires des équations de Navier-Stokes amorties introduites dans le chapitre précédent. Ces solutions stationnaires correspondent à un type particulier des solutions qui ne dépendent que de la variable d'espace: la motivation pour étudier ces solutions stationnaires étant donné que la force externe que nous considérons tout au long de cette thèse est une fonction stationnaire. Dans ce chapitre on étudie essentiellement deux propriétés des solutions stationnaires: la première propriété correspond à la stabilité de ces solutions où on montre que si l'on contrôle la force externe des équations de Navier-Stokes amorties alors toute solution non stationnaire (qui dépend de la variable d'espace et aussi de la variable de temps) converge vers une solution stationnaire lorsque le temps tend à l'infini. La deuxième propriété porte sur l'étude de la décroissance en variable spatiale des ces solutions stationnaires.Dans le troisième chapitre on continue à étudier les solutions stationnaires des équations de Navier-Stokes, mais cette fois-ci on considère les équations de Navier-Stokes classiques (sans aucun terme d'amortissement) . Le but de ce chapitre est d'étudier un tout autre problème relié à l'étude déterministe de la turbulence et qui porte sur la décroissance de la transformée de Fourier des solutions stationnaires. En effet, selon la théorie de la turbulence K41, si le fluide est en régime laminaire on s'attend à observer une décroissance exponentielle de la transformée de Fourier des solutions stationnaires et cette décroissance à lieu dès les bases fréquences, tandis que si le fluide est en régime turbulent alors on s'attend à observer cette même décroissance exponentielle mais seulement aux hautes fréquences. Ainsi, à l'aide des outils de l'analyse de Fourier, dans ce chapitre on donne des descriptions précises sur cette décroissance exponentielle fréquentiel (dans le régime laminaire et dans le régime turbulent) des solutions stationnaires.Dans le quatrième et dernier chapitre on revient aux solutions stationnaires des équations de Navier-Stokes (on considère toujours les équations classiques) et on étude l'unicité de ces solutions dans le cas particulier où la force externe est nulle. En suivant essentiellement quelques idées des travaux précédents de G. Seregin, on étudie l'unicité des ces solutions tout d'abord dans les cadres des espaces de Lebesgue et ensuite dans le cadre plus général des espaces de Morrey.

  • Titre traduit

    Deterministic descriptions of the turbulence in the Navier-Stokes equations


  • Résumé

    This PhD thesis is devoted to deterministic study of the turbulence in the Navier-Stokes equations. The thesis is divided in four independent chapters.The first chapter involves a rigorous discussion about the energy's dissipation law, proposed by theory of the turbulence K41, in the deterministic setting of the homogeneous and incompressible Navier-Stokes equations, with a stationary external force (the force only depends of the spatial variable) and on the whole space. The energy's dissipation law, also called the Kolmogorov's dissipation law, characterizes the energy's dissipation rate (in the form of heat) of a turbulent fluid and this law was developed by A.N. Kolmogorov in 1941. However, its deduction (which uses mainly tools of statistics) is not fully understood until our days and then an active research area consists in studying this law in the rigorous framework of the Navier-Stokes equations which describe in a mathematical way the fluids motion and in particular the movement of turbulent fluids. In this setting, the purpose of this chapter is to highlight the fact that if we consider the Navier-Stokes equations on the whole space then certain physical quantities, necessary for the study of the Kolmogorov's dissipation law, have no a rigorous definition and then to give a sense to these quantities we suggest to consider the Navier-Stokes equations with an additional damping term. In the framework of these damped equations, we obtain some estimates for the energy's dissipation rate according to the Kolmogorov's dissipation law.In the second chapter we are interested in study the stationary solutions of the damped Navier-Stokes introduced in the previous chapter. These stationary solutions are a particular type of solutions which do not depend of the temporal variable and their study is motivated by the fact that we always consider the Navier-Stokes equations with a stationary external force. In this chapter we study two properties of the stationary solutions: the first property concerns the stability of these solutions where we prove that if we have a control on the external force then all non stationary solution (with depends of both spatial and temporal variables) converges toward a stationary solution. The second property concerns the decay in spatial variable of the stationary solutions. These properties of stationary solutions are a consequence of the damping term introduced in the Navier-Stokes equations.In the third chapter we still study the stationary solutions of Navier-Stokes equations but now we consider the classical equations (without any additional damping term). The purpose of this chapter is to study an other problem related to the deterministic description of the turbulence: the frequency decay of the stationary solutions. Indeed, according to the K41 theory, if the fluid is in a laminar setting then the stationary solutions of the Navier-Stokes equations must exhibit a exponential frequency decay which starts at lows frequencies. But, if the fluid is in a turbulent setting then this exponential frequency decay must be observed only at highs frequencies. In this chapter, using some Fourier analysis tools, we give a precise description of this exponential frequency decay in the laminar and in the turbulent setting.In the fourth and last chapter we return to the stationary solutions of the classical Navier-Stokes equations and we study the uniqueness of these solutions in the particular case without any external force. Following some ideas of G. Seregin, we study the uniqueness of these solutions first in the framework of Lebesgue spaces of and then in the a general framework of Morrey spaces.


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