Nouvelles approches pour le partitionnement de grands graphes

Novel approaches to the clustering of large graphs

• Auteur / Autrice : Alexandre Hollocou
• Direction : Marc Lelarge, Thomas Bonald
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 19/12/2018
• Etablissement(s) : Paris Sciences et Lettres (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : École normale supérieure (Paris ; 1985-....). Département d'informatique
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation de la thèse : École normale supérieure (Paris ; 1985-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Dynamics of geometric networks (Paris ; 2013-2023)
• Jury : Président / Présidente : Nicolas Vayatis
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marc Lelarge, Thomas Bonald, Nicolas Vayatis, Cheng-Shang Chang, Renaud Lambiotte, Florence D'Alché-Buc, Laurent Viennot
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Cheng-Shang Chang, Renaud Lambiotte

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mathématiques

Mots clés libres

Graphe

Partitionnement

Détection de communautés

Analyse de données

Apprentissage statistique

Réseaux

Graph

Clustering

Community detection

Data analysis

Machine learning

Networks

Résumé

Les graphes sont omniprésents dans de nombreux domaines de recherche, allant de la biologie à la sociologie. Un graphe est une structure mathématique très simple constituée d’un ensemble d’éléments, appelés nœuds, reliés entre eux par des liens, appelés arêtes. Malgré cette simplicité, les graphes sont capables de représenter des systèmes extrêmement complexes, comme les interactions entre protéines ou les collaborations scientifiques. Le partitionnement ou clustering de graphe est un problème central en analyse de graphe dont l’objectif est d’identifier des groupes de nœuds densément interconnectés et peu connectés avec le reste du graphe. Ces groupes de nœuds, appelés clusters, sont fondamentaux pour une compréhension fine de la structure des graphes. Il n’existe pas de définition universelle de ce qu’est un bon cluster, et différentes approches peuvent s’avérer mieux adaptées dans différentes situations. Alors que les méthodes classiques s’attachent à trouver des partitions des nœuds de graphe, c’est-à-dire à colorer ces nœuds de manière à ce qu’un nœud donné n’ait qu’une et une seule couleur, des approches plus élaborées se révèlent nécessaires pour modéliser la structure complexe des graphes que l’on rencontre en situation réelle. En particulier, dans de nombreux cas, il est nécessaire de considérer qu’un nœud donné peut appartenir à plus d’un cluster. Par ailleurs, de nombreux systèmes que l’on rencontre en pratique présentent une structure multi-échelle pour laquelle il est nécessaire de partir à la recherche de hiérarchies de clusters plutôt que d’effectuer un partitionnement à plat. De plus, les graphes que l’on rencontre en pratique évoluent souvent avec le temps et sont trop massifs pour être traités en un seul lot. Pour ces raisons, il est souvent nécessaire d’adopter des approches dites de streaming qui traitent les arêtes au fil de l’eau. Enfin, dans de nombreuses applications, traiter des graphes entiers n’est pas nécessaire ou est trop coûteux, et il est plus approprié de retrouver des clusters locaux dans un voisinage de nœuds d’intérêt plutôt que de colorer tous les nœuds. Dans ce travail, nous étudions des approches alternatives de partitionnement de graphe et mettons au point de nouveaux algorithmes afin de résoudre les différents problèmes évoqués ci-dessus.

Graphs are ubiquitous in many fields of research ranging from sociology to biology. A graph is a very simple mathematical structure that consists of a set of elements, called nodes, connected to each other by edges. It is yet able to represent complex systems such as protein-protein interaction or scientific collaborations. Graph clustering is a central problem in the analysis of graphs whose objective is to identify dense groups of nodes that are sparsely connected to the rest of the graph. These groups of nodes, called clusters, are fundamental to an in-depth understanding of graph structures. There is no universal definition of what a good cluster is, and different approaches might be best suited for different applications. Whereas most of classic methods focus on finding node partitions, i.e. on coloring graph nodes so that each node has one and only one color, more elaborate approaches are often necessary to model the complex structure of real-life graphs and to address sophisticated applications. In particular, in many cases, we must consider that a given node can belong to more than one cluster. Besides, many real-world systems exhibit multi-scale structures and one much seek for hierarchies of clusters rather than flat clusterings. Furthermore, graphs often evolve over time and are too massive to be handled in one batch so that one must be able to process stream of edges. Finally, in many applications, processing entire graphs is irrelevant or expensive, and it can be more appropriate to recover local clusters in the neighborhood of nodes of interest rather than color all graph nodes. In this work, we study alternative approaches and design novel algorithms to tackle these different problems. The novel methods that we propose to address these different problems are mostly inspired by variants of modularity, a classic measure that accesses the quality of a node partition, and by random walks, stochastic processes whose properties are closely related to the graph structure. We provide analyses that give theoretical guarantees for the different proposed techniques, and endeavour to evaluate these algorithms on real-world datasets and use cases.