Méthodes de discrétisation hybrides pour les problèmes de contact de Signorini et les écoulements de Bingham

par Karol Cascavita Mellado

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Alexandre Ern et de Xavier Château.

Soutenue le 18-12-2018

à Paris Est , dans le cadre de MSTIC : Mathématiques et Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication , en partenariat avec Centre d'enseignement et de recherche en mathématiques et calcul scientifique (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne) (laboratoire) et de Centre d'Enseignement et de Recherche en Mathématiques et Calcul Scientifique / CERMICS (laboratoire) .

Le président du jury était Raphaèle Herbin.

Le jury était composé de Alexandre Ern, Xavier Château, Miguel Angel Fernandez Varela, Erik Burman, Jérémy Bleyer.

Les rapporteurs étaient Pierre Saramito, Patrick Hild.


  • Résumé

    Cette thèse s'intéresse à la conception et à l'analyse de méthodes de discrétisation hybrides pour les inégalités variationnelles non linéaires apparaissant en mécanique des fluides et des solides. Les principaux avantages de ces méthodes sont la conservation locale au niveau des mailles, la robustesse par rapport à différents régimes de paramètres et la possibilité d’utiliser des maillages polygonaux / polyédriques avec des nœuds non coïncidants, ce qui est très intéressant dans le contexte de l’adaptation de maillage. Les méthodes de discrétisation hybrides sont basées sur des inconnues discrètes attachées aux faces du maillage. Des inconnues discrètes attachées aux mailles sont également utilisées, mais elles peuvent être éliminées localement par condensation statique. Deux applications principales des discrétisations hybrides sont abordées dans cette thèse. La première est le traitement par la méthode de Nitsche du problème de contact de Signorini (dans le cas scalaire) avec une non-linéarité dans les conditions aux limites. Nous prouvons des estimations d'erreur optimales conduisant à des taux de convergence d'erreur d'énergie d'ordre (k + 1), si des polynômes de face de degré k >= 0 sont utilisés. La deuxième application principale concerne les fluides à seuil viscoplastiques. Nous concevons une méthode de Lagrangien augmenté discrète appliquée à la discrétisation hybride. Nous exploitons la capacité des méthodes hybrides d’utiliser des maillages polygonaux avec des nœuds non coïncidants afin d'effectuer l’adaptation de maillage local et mieux capturer la surface limite. La précision et la performance des schémas sont évaluées sur des cas tests bidimensionnels, y compris par des comparaisons avec la littérature

  • Titre traduit

    Hybrid discretization methods for Signorini contact and Bingham flow problems


  • Résumé

    This thesis is concerned with the devising and the analysis of hybrid discretization methods for nonlinear variational inequalities arising in computational mechanics. Salient advantages of such methods are local conservation at the cell level, robustness in different regimes and the possibility to use polygonal/polyhedral meshes with hanging nodes, which is very attractive in the context of mesh adaptation. Hybrid discretizations methods are based on discrete unknowns attached to the mesh faces. Discrete unknowns attached to the mesh cells are also used, but they can be eliminated locally by static condensation. Two main applications of hybrid discretizations methods are addressed in this thesis. The first one is the treatment using Nitsche's method of Signorini's contact problem (in the scalar-valued case) with a nonlinearity in the boundary conditions. We prove optimal error estimates leading to energy-error convergence rates of order (k+1) if face polynomials of degree k >= 0 are used. The second main application is on viscoplastic yield flows. We devise a discrete augmented Lagrangian method applied to the present hybrid discretization. We exploit the capability of hybrid methods to use polygonal meshes with hanging nodes to perform local mesh adaptation and better capture the yield surface. The accuracy and performance of the present schemes is assessed on bi-dimensional test cases including comparisons with the literature


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