Phénomène de Newhouse et bifurcations en dynamique holomorphe à plusieurs variables

par Sébastien Biebler

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Romain Dujardin.

Soutenue le 12-07-2018

à Paris Est , dans le cadre de MSTIC : Mathématiques et Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication , en partenariat avec Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées (laboratoire) et de LAMA (laboratoire) .

Le président du jury était Christian Bonatti.

Le jury était composé de Romain Dujardin, Florence Merlevède, Pierre Berger, Henry de Thélin.

Les rapporteurs étaient Christophe Dupont, Laura Demarco.


  • Résumé

    Cette thèse est consacrée à l’étude du phénomène de Newhouse et des bifurcations en dynamique holomorphe à plusieurs variables. Elle comporte trois Théorèmes principaux. Le premier de ces trois résultats est un Gap Lemma complexe. En dynamique réelle, le Gap Lemma de Newhouse donne un critère sur le produit des épaisseurs de deux ensembles de Cantor dynamiques pour prouver que leur intersection est non vide. On en donne une généralisation partielle au cas des ensembles de Cantor dynamiques dans C. Plus précisément, on introduit une notion d’épaisseur pour un ensemble de Cantor dynamique planaire et on fournit un critère sur le produit de deux épaisseurs afin d’obtenir une intersection entre deux ensembles de Cantor dynamiques. On montre également que l’épaisseur est une quantité qui varie continûment, ce qui permet d’obtenir des intersections persistantes d’ensembles de Cantor dynamiques. Le second Théorème de cette thèse démontre l’existence du phénomène de Newhouse dans l’espace des automorphismes polynomiaux de degré d pour n’importe quel degré d ≥ 2 dans C^{3}. Au contraire de la situation dans C^{2}, le degré est ici connu et optimal. Le point clef de la preuve est l’introduction dans le domaine complexe d’un outil issu de la dynamique réelle : le blender de Bonatti et Diaz. On formalise le concept de blender complexe et on donne un automorphisme polynomial de C^{3} de degré 2 possédant un blender. Puis, on l’utilise afin de construire successivement des tangences persistantes et des sous-ensembles résiduels d’automorphismes ayant une infinité de puits. Enfin, le dernier résultat porte sur les bifurcations d’endomorphismes holomorphes de P^{2}(C) très particuliers, appelés exemples de Lattès, semi-conjugués à une application affine sur un tore. Dujardin a conjecturé que ces derniers étaient accumulés par des ouverts de bifurcations. On montre que tout exemple de Lattès de degré suffisamment élevé est accumulé par de telles bifurcations robustes. Ceci implique en particulier que tout exemple de Lattès possède un itéré dans l’adhérence de l’intérieur du lieu de bifurcation. La démonstration est basée sur l’obtention d’intersections persistantes entre l’ensemble postcritique et un ensemble hyperbolique répulsif contenu dans l’ensemble de Julia. La preuve est divisée en deux parties : on donne tout d’abord un toy-model qui permet d’obtenir des intersections persistantes entre l’ensemble limite d’un certain type d’IFS, appelé IFS correcteur, et une courbe. Ensuite, dans un second temps, on perturbe l’exemple de Lattès pour créer simultanément un IFS correcteur dans l’ensemble de Julia et une courbe bien orientée dans l’ensemble postcritique

  • Titre traduit

    Newhouse's phenomenon and bifurcations in holomorphic dynamics in several variables


  • Résumé

    In this PhD thesis, we study Newhouse’s phenomenon and bifurcations in the context of dynamics in several complex variables. We prove three main Theorems. The first one is a complex Gap Lemma. In real dynamics, Newhouse’s Gap Lemma gives a criterion on the product of the thicknesses of two dynamical Cantor sets K and L to show that K ∩ L is not empty. We show a partial generalization of this result for dynamical Cantor sets in C. A relevant notion of thickness in this case is defined and we give some criterion on the product of two thicknesses to show that two dynamical Cantor sets in C must intersect. We also show that the thickness varies continuously, which generates persistent intersections of dynamical Cantor sets. In the second Theorem, we show that there exists a polynomial automorphism f of C^{3} of degree 2 such that for every automorphism g sufficiently close to f, g admits a tangency between the stable and unstable laminations of some hyperbolic set. As a consequence, for each d ≥ 2, there exists an open set of polynomial automorphisms of degree at most d in which the automorphisms having infinitely many sinks are dense. In contrary to the case of C^{2}, the degree is known. To prove these results, we give a complex analogous to the notion of blender introduced by Bonatti and Diaz. In particular, we use a blender to produce robust tangencies. In the third and last result, we study the phenomenon of robust bifurcations in the space of holomorphic maps of P^{2}(C). We prove that any Lattès example of sufficiently high degree belongs to the closure of the interior of the bifurcation locus. This gives a partial answer to a conjecture of Dujardin. In particular, every Lattès map has an iterate with this property. To show this, we design a method creating robust intersections between the limit set of a particular type of iterated functions system in C^{2} with a well-oriented complex curve. Then we show that any Lattès map of sufficiently high degree can be perturbed so that the perturbed map exhibits this geometry


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