Autour du programme de Calabi, méthodes de recollement

par Caroline Vernier

Thèse de doctorat en Mathématiques et leurs interactions

Sous la direction de Yann Rollin et de Gilles Carron.

Soutenue le 24-10-2018

à Nantes , dans le cadre de École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes) , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques Jean Leray (Nantes) (laboratoire) .

Le président du jury était Paul Gauduchon.

Le jury était composé de Vestislav Apostolov, Olivier Biquard, Philippe Eyssidieux.

mots clés

• Courbures scalaires
• Structures kählériennes
• Calabi-Yau, Variétés de

Résumé

On étudie l'existence de métrique à courbure scalaire hermitienne constante sur des variétés presque-Kähler obtenues par lissage d'orbifolds Kähler à courbure scalaire riemannienne constante et à singularités A1. On démontre que si un tel orbifold n'a pas de champs de vecteurs holomorphes (non triviaux) alors un lissage presque Kähler (Mє, ωє) admet une structure presque-Kähler à courbure scalaire hermitienne constante. De plus, on démontre que pour є > O assez petit, les (Mє, ωє) sont toutes symplectiquement équivalentes à une variété symplectique fixée (M , ω) qui possède un cycle évanescent admettant un représentant Hamiltonien stationnaire pour la structure presque complexe associée.

Titre traduit

Calabi's program and gluing methods

Résumé

We study the existence of metrics of constant Hermitian scalar curvature on almost-Kähler manifolds obtained as smoothings of a constant scalar curvature Kähler orbifold, with A1 singularities. More precisely, given such an orbifold that does not admit nontrivial holomorphie vector fields, we show that an almost-Kähler smoothing (Mє, ωє) admits an almost-Kähler structure (Jє, gє) of constant Hermitian curvature. Moreover, we show that for є > O small enough, the (Mє, ωє) are all symplectically equivalent to a fixed symplectic manifold (M , ω) in which there is a surface S homologous to a 2-sphere, such that [S] is a vanishing cycle that admits a representant that is Hamiltonian stationary for gє .