Catégorification de données Z-modulaires et groupes de réflexions complexes

par Abel Lacabanne

Thèse de doctorat en Mathématiques et Modélisation

Sous la direction de Cédric Bonnafé.

Le président du jury était Michel Broué.

Le jury était composé de Cédric Bonnafé, Michel Broué, Pavel I. Etingof, Alexis Virelizier, Gunter Malle, Alain Bruguières.

Les rapporteurs étaient Pavel I. Etingof, Alexis Virelizier.


  • Résumé

    Cette thèse porte sur l'étude des données $mathbb{Z}$-modulaires et leur catégorification, et particulièrement sur des données $mathbb{Z}$-modulaires reliées aux groupes de réflexions complexes, ainsi que sur la notion de caractère cellulaire pour ces derniers. Dans sa classification des caractères des groupes finis de type de Lie, Lusztig décrit une transformée de Fourier non abélienne et définit des données $mathbb{N}$-modulaires pour chaque famille de caractères unipotents. Dans des tentatives de généralisation aux Spetses, Broué, Malle et Michel introduisent des données $mathbb{Z}$-modulaires. On commence par donner une explication catégorique de certaines de ces données via la catégorie des représentations du double de Drinfeld d'un groupe fini, que l'on munit d'une structure pivotale non sphérique. Une étude approfondie de la notion de catégorie de fusion pivotale et légèrement dégénérée montre que l'on peut ainsi produire des données $mathbb{Z}$-modulaires. Afin de construire des exemples de telles catégories, on considère des extensions des catégories de fusion associées à $qgrroot{mathfrak{g}}$, où $mathfrak{g}$ est une algèbre de Lie simple, et $xi$ une racine de l'unité. Ces dernières sont construites comme des semi-simplifications de la catégorie des modules basculants de l'algèbre $qdblroot{mathfrak{g}}$, qui est une extension centrale de $qgrroot{mathfrak{g}}$. Dans le cas où $mathfrak{g}=mathfrak{sl}_{n+1}$, on relie cette catégorie à une des données $mathbb{Z}$-modulaires associée au groupe de réflexions complexes $Gleft(d,1,frac{n(n+1)}{2}right)$. Les groupes de réflexions exceptionnels sont également étudiés, et les catégorifications des données $mathbb{Z}$-modulaires associées font apparaître diverses catégories : des catégories de représentations de doubles de Drinfeld tordus ainsi que des sous-catégories des catégories de fusion des modules basculants en $qdblroot{mathfrak{g}}$ en type $A$ et $B$.

  • Titre traduit

    Categorification of Z-modular data and complex reflection groups


  • Résumé

    This work is a contribution to the categorification of $mathbb{Z}$-modular data and deals mainly with $mathbb{Z}$-modular data arising from complex reflection groups, as well as cellular characters for these groups. In his classification of representations of finite groups of Lie type, Lusztig defines a nonabelian Fourier transform, and associate a $mathbb{N}$-modular datum to each family of unipotent characters. In a generalization of Lusztig's theory to Spetses, Broué, Malle and Michel construct $mathbb{Z}$-modular data associated to some complex reflection groups. We first give a categorical explanation of some of these $mathbb{Z}$-modular data in terms of representation of the Drinfeld double of a finite group. We had to endow the category of representations with a non-spherical structure. The study of slightly degenerate categories shows that they naturally give rise to $mathbb{Z}$-modular data. In order to construct some examples, we consider an extension of the fusion categories associated to $qgrroot{mathfrak{g}}$, where $mathfrak{g}$ is a simple Lie algebra and $xi$ a root of unity. These categories are constructed as semisimplification of the category of tilting modules of $qdblroot{mathfrak{g}}$, which is a central extension of $qgrroot{mathfrak{g}}$. If $mathfrak{s}=mathfrak{sl}_{n+1}$, we show that this category is related to some $mathbb{Z}$-modular data associated to the complex reflection group $Gleft(d,1,frac{n(n+1)}{2}right)$. Exceptional complex reflection groups are also considered and many different categories appear in the categorification of the associated $mathbb{Z}$-modular data : modules categories over twisted Drinfeld doubles as well as some subcategories of fusion categories of tilting modules over $qdblroot{mathfrak{g}}$ in type $A$ and $B$.


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