Théorie quantique des champs topologiques pour la superalgèbre de Lie sl(2/1)

par Ngoc-Phu Ha

Thèse de doctorat en Mathématiques et leurs interactions

Sous la direction de Bertrand Patureau-Mirand.

Soutenue le 07-12-2018

à Lorient , dans le cadre de École doctorale Santé, information-communication et mathématiques, matière (Brest, Finistère) , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques de Bretagne Atlantique / LMBA (laboratoire) .

Le président du jury était Christian Blanchet.

Le jury était composé de Emmanuel Wagner, Azat M. Gainutdinov, Gwénaël Massuyeau, Gaël Meigniez.

Les rapporteurs étaient Emmanuel Wagner, Anna Beliakova.


  • Résumé

    Ce texte étudie le groupe quantique Uξ sl(2|1) associé à la superalgèbre de Lie sl(2|1) et une catégorie de ses représentations de dimension finie. L'objectif est de construire des invariants topologiques de 3-variétés en utilisant la notion de trace modifiée. D'abord nous prouvons que la H catégorie CH des modules de poids nilpotents sur Uξ sl(2|1) est enrubannée et qu'il existe une trace modifiée sur son idéal des modules projectifs. De plus CH possède une structure relativement G-prémodulaire ce qui est une condition suffisante pour construire un invariant de 3-variétés à la Costantino-Geer-Patureau. Cet invariant est le cœur d'une 1+1+1-TQFT (Topological Quantum Field Theory). D'autre part Hennings a proposé à partir d'une algèbre de Hopf de dimension finie une construction d’invariants qui dispense de considérer la catégorie de H l l ses représentations. Nous montrons que le groupe quantique déroulé Uξ sl(2|1)/(e1 , f1 ) possède une complétion qui est une algèbre de Hopf enrubannée topologique. Nous construisons un invariant de 3-variétés à la Hennings en utilisant cette structure algébrique, une transformation de Fourier discrète et la notion de G-intégrales. L'intégrale dans une algèbre de Hopf est centrale dans la construction de Hennings. La notion de trace modifiée dans une catégorie s'est récemment révélée être une généralisation des intégrales dans les algèbres de Hopf de dimension finie. Dans un contexte plus général d'algèbre de Hopf de dimension infinie nous prouvons la relation formulée entre la trace modifiée et la G -intégrale.

  • Titre traduit

    Topological quantum field theory for Lie superalgebra sl(2|1)


  • Résumé

    This text studies the quantum group Uξ sl(2|1) associated with the Lie superalgebra sl(2|1) and a category of finite dimensional representations. The aim is to construct the topological invariants of 3-manifolds using the notion of modified trace. We first prove that the category CH of the nilpotent weight modules over Uξ sl(2|1) is ribbon and that there exists a modified trace on its ideal of projective modules. Furthermore, CH possesses a relative G-premodular structure which is a sufficient condition to construct an invariant of 3-manifolds of Costantino-Geer-Patureau type. This invariant is the heart of a 1+1+1-TQFT (Topological Quantum Field Theory). Next Hennings proposed from a finite dimensional Hopf algebra, a construction of invariants which does not require to consider the category of its representations. We show that the unrolled H l l quantum group Uξ sl(2|1)/(e1 , f1 ) has a completion which is a topological ribbon Hopf algebra. We construct an invariant of 3-manifolds of Hennings type using this algebraic structure, a discrete Fourier transform, and the notion of G-integrals. The integral in a Hopf algebra is central in the construction of Hennings. The notion of modified trace in a category has recently been revealed to be a generalization of the integrals in a finite dimensional Hopf algebra. In a more general context of infinite dimensional Hopf algebras we prove the relation formulated between the modified trace and the G-integral.


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