Géométrie des variétés de Fano : sous-faisceaux du fibré tangent et diviseur fondamental

Geometry of Fano varieties : subsheaves of the tangent bundle and fundamental divisor

• Auteur / Autrice : Jie Liu
• Direction : Andreas Höring, Christophe Mourougane
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 26/06/2018
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université de Nice (1965-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice) - Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné
• Jury : Président / Présidente : Christian Pauly
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christian Pauly, Stéphane Druel, Cinzia Casagrande, Pierre-Emmanuel Chaput
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jarosław Wiśniewski, Stéphane Druel

Mots clés

Mots clés contrôlés

Singularités (mathématiques)

Chern, Classes de

Faisceaux fibrés (mathématiques)

Théorèmes d'annulation

Espaces symétriques hermitiens

Stabilité

Feuilletages (mathématiques)

Espaces projectifs

Fano, Variétés de

Mots clés libres

Variétés de Fano

Espaces projectifs

Faisceaux amples

Feuilletages

Stabilité

Espaces hermitiens symétriques

Théorèmes d'annulation

Intersections complètes

Propriétés de Lefschetz

Non-annulation

Seconde classe de Chern

Birationalité

Diviseurs fondamentaux

Constante de Seshadri

Variétés de Moishezon

Singularités

Courbes rationnelles

Théorie de Mori

Fano varieties

Projective spaces

Ample sheaves

Foliations

Stability

Hermitian symmetric spaces

Vanishing theorems

Complete intersects

Lefschetz properties

Non-vanishing

Second Chern class

Birationality

Fundamental divisors

Seshadri constants

Moishezon manifolds

Singularities

Rational curves

Mori theory

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de la géométrie des variétés de Fano complexes en utilisant les propriétés des sous-faisceaux du fibré tangent et la géométrie du diviseur fondamental. Les résultats principaux compris dans ce texte sont : (i) Une généralisation de la conjecture de Hartshorne: une variété lisse projective est isomorphe à un espace projectif si et seulement si son fibré tangent contient un sous-faisceau ample.(ii) Stabilité du fibré tangent des variétés de Fano lisses de nombre de Picard un : à l'aide de théorèmes d'annulation sur les espaces hermitiens symétriques irréductibles de type compact M, nous montrons que pour presque toute intersection complète générale dans M, le fibré tangent est stable. La même méthode nous permet de donner une réponse sur la stabilité de la restriction du fibré tangent de l'intersection complète à une hypersurface générale.(iii) Non-annulation effective pour des variétés de Fano et ses applications : nous étudions la positivité de la seconde classe de Chern des variétés de Fano lisses de nombre de Picard un. Ceci nous permet de montrer un théorème de non-annulation pour les variétés de Fano lisses de dimension n et d'indice n-3. Comme application, nous étudions la géométrie anticanonique des variétés de Fano et nous calculons les constantes de Seshadri des diviseurs anticanoniques des variétés de Fano d'indice grand.(iv) Diviseurs fondamentaux des variétés de Moishezon lisses de dimension trois et de nombre de Picard un : nous montrons l'existence d'un diviseur lisse dans le système fondamental dans certain cas particulier.

This thesis is devoted to the study of complex Fano varieties via the properties of subsheaves of the tangent bundle and the geometry of the fundamental divisor. The main results contained in this text are:(i) A generalization of Hartshorne's conjecture: a projective manifold is isomorphic to a projective space if and only if its tangent bundle contains an ample subsheaf.(ii) Stability of tangent bundles of Fano manifolds with Picard number one: by proving vanishing theorems on the irreducible Hermitian symmetric spaces of compact type M, we establish that the tangent bundles of almost all general complete intersections in M are stable. Moreover, the same method also gives an answer to the problem of stability of the restriction of the tangent bundle of a complete intersection on a general hypersurface.(iii) Effective non-vanishing for Fano varieties and its applications: we study the positivity of the second Chern class of Fano manifolds with Picard number one, this permits us to prove a non-vanishing result for n-dimensional Fano manifolds with index n-3. As an application, we study the anticanonical geometry of Fano varieties and calculate the Seshadri constants of anticanonical divisors of Fano manifolds with large index.(iv) Fundamental divisors of smooth Moishezon threefolds with Picard number one: we prove the existence of a smooth divisor in the fundamental linear system in some special cases.