Un théorème de Gallagher pour la fonction de Möbius

A Gallagher theorem for the Moebius function

• Auteur / Autrice : Mohamed Haye Betah
• Direction : Olivier Ramaré, Mohamed Abdallahi Ould Beddi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 29/11/2018
• Etablissement(s) : Aix-Marseille en cotutelle avec Université de Nouakchott
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Luminy (Marseille)
• Jury : Président / Présidente : Ahmedou Haouba
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Anne-Gwénaëlle de Roton, Julien Cassaigne, Bruno Martin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Marc Deshouillers

Mots clés

Mots clés contrôlés

Möbius, Fonction de

Fonctions de plusieurs variables complexes

Fonctions arithmétiques

Mellin, Transformation de

Mots clés libres

Estimations de fonctions arithmétiques

Utilisation de l’analyse complexe

Inégalité de grand crible

Transformees de Mellin

Théorème de Barban et Vehov.

Estimates of arithmetic functions

Use of complex analysis

Barban and Vehov theorem.

The large sieve inequality

Mellin transform

Résumé

La fonction de Möbius est définie par μ(n)= { 1{si n=1} \\ (-1)^k{si n est le produit de k nombres premiers distincts} \\ 0{si n contient un facteur carré} }. Nous avons démontré que pour x≥exp(10⁹) et h=x^{1−{1/16000}}, il existe dans chaque intervalle [x-h,x] des entiers n₁ avec μ(n₁)=1 et des entiers n₂ avec μ(n₂)=-1. Ce résultat est une conséquence d'un résultat plus général. Pour x≥exp(4x10⁶), 1/(√(logx))≤θ≤1/2000, h=x^{1−θ} et Q=(x/h)^{1/20} nous avons ∑_{q≤Q} log(Q/q) | ^∗∑_{χmodq} ∣ ∑_{x.−h≤n≤x} μ(n)χ(n) ∣ ≤ 10²⁰ hθ log(x) exp(−1/300θ); la somme ∑* portant sur les caractères primitifs sauf l'éventuel caractère exceptionnel. Et en particulier pour x≥exp(10⁹),∣ ∑_{x−.x^{1−1/16000}≤n≤x} μ(n) ∣ ≤ 1/100x^{1−1/16000}.

The Möbius function is defined by μ(n)= { 1{if n=1} \\ (-1)^k{if n is a product of k distinct prime numbers} \\ 0{if n contains a square factor} }. We demonstrate that for x≥exp(10⁹) and h=x^{1−{1/16000}}, it exists in each interval [x-h,x] integers n₁ with μ(n₁)=1 and integers n₂ with μ(n₂)=-1. This result is a consequence of a more general result. For x≥exp(4x10⁶), 1/(√(logx))≤θ≤1/2000, h=x^{1−θ} and Q=(x/h)^{1/20}, we have ∑_{q≤Q} log(Q/q) | ^∗∑_{χmodq} ∣ ∑_{x.−h≤n≤x} μ(n)χ(n) ∣ ≤ 10²⁰ hθ log(x) exp(−1/300θ); the sum ∑* relating to primitive characters except for possible exceptional character. And in particular for x≥exp(10⁹), ∣ ∑_{x−.x^{1−1/16000}≤n≤x} μ(n) ∣ ≤ 1/100x^{1−1/16000}.