Algorithmic complexity of growth-type invariants of SFT under dynamical constraints

par Silvère Gangloff

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Mathieu Sablik et de Guillaume Theyssier.

Le président du jury était Jérôme Buzzi.

Le jury était composé de Valérie Berthé, Samuel Petite, Andrei Evgenjevich Romashchenko.

Les rapporteurs étaient Michaël Hochman, Emmanuel Jeandel.

  • Titre traduit

    Complexité algorithmique des invariants de type croissance des sous-décalages de type fini sous contrainte dynamique


  • Résumé

    Les sous-décalages multidimensionnels (SFT) sont des ensembles de colorations d'une grille régulière infinie définis par lois locales. Ces objets sont impliqués dans plusieurs domaines des mathématiques et en particulier la physique statistique. Un problème important est de calculer leur entropie. Cependant, il a été prouvé qu'il n'existe pas d'algorithme uniforme pour faire ce calcul. Une approche naturelle est de trouver une classe de SFT, définie par des contraintes dynamiques, sur laquelle ceci est vrai. Dans ce texte, on propose des résultats reliés à ce problème. Les plus important d'entre eux sont: (1) l'existence de SFT apériodiques vérifiant une variante de la propriété d'assemblage introduite ici et appelée assemblage linéaire; (2) une caractérisation des valeurs de l'entropie pour ces SFT (répondant en particulier à une question ouverte de Hochman et Meyerovitch); (3) une caractérisation d'un seuil pour la calculabilité de l'entropie pour les sous-décalages multidimensionnels à language décidable; (4) une caractérisation des valeurs possibles de la dimension entropique pour les SFT tridimensionnels minimaux. Les deux résultats de caractérisation peuvent être interprétés comme une approximation par le haut de classes de SFT optimales sur lesquelles l'entropie peut être calculé uniformément. Le résultat sur le seuil caractérise une classe optimale mais pour les sous-décalage à langage décidable. Le même problème reste ouvert pour les SFT multidimensionnels. De plus, on étend le problème à l'intervalle unité, et caractérise les valeurs possibles de l'entropie pour les fonctions calculables de l'intervalle.

    mots clés mots clés

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  • Résumé

    Multidimensional subshifts of finite type (SFT) are sets of colorings of an infinite regular grid defined by local rules. They are involved in many areas of mathematics and in particular statistical physics. One important problem is to compute the entropy of these systems. It was proved that their entropy can not be computed algorithmically in a uniform way. However one canseek for a subclass, in particular defined by dynamical constraints, on which the entropy can be computed algorithmically. In this text, we expose results related to this problem. The most saliant ones are: (1) the existence of aperiodic subshifts of finite type under linear version block gluing constraint, introduced here; (2) a characterization of the values of the entropy for these subshifts (this answers an open question by Hochman and Meyerovitch); (3) a characterization of a threshold on a quantified version of the irreducibility property for the computability of the entropy of decidable subshifts; (4) a characterization of the entropy dimensions of minimal tridimensional SFT. The two characterization results can be interpreted as the approximation from above of some classes of SFT in which the possibility to embed universal computation (and thus have the non-computability of the entropy) vanishes. The result on the threshold characterize an optimal class but is related to decidable subshifts. A challenging open question is to find a similar result for multidimensional SFT. Moreover, we extend this investigation on the unit interval and characterize the values of the entropy of computable interval maps.


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