Thèse soutenue

Sur une nouvelle décomposition cellulaire de l’espace des polynômes à racines simples : application à la cohomologie des groupes de tresses

FR  |  
EN
Auteur / Autrice : Noémie Combe
Direction : Bernard Coupet
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 24/05/2018
Etablissement(s) : Aix-Marseille
Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Marseille (I2M)
Jury : Président / Présidente : Leila Schneps
Examinateurs / Examinatrices : Athanase Papadopoulos, Erwan Rousseau, Louis Paris
Rapporteurs / Rapporteuses : Athanase Papadopoulos

Mots clés

FR  |  
EN

Mots clés contrôlés

Résumé

FR  |  
EN

Cette thèse concerne principalement deux objets classiques étroitement liés: d'une part la variété des polynômes complexes unitaires de degré d>1 à une variable, et à racines simples (donc de discriminant différent de zéro), et d'autre part, les groupes de tresses d'Artin avec d brins. Le travail présenté dans cette thèse propose une nouvelle approche permettant des calculs cohomologiques explicites à coefficients dans n'importe quel faisceau. En vue de calculs cohomologiques explicites, il est souhaitable d'avoir à sa disposition un bon recouvrement au sens de Čech. L'un des principaux objectifs de cette thèse est de construire un tel recouvrement basé sur des graphes (appelés signatures) qui rappellent les `dessins d'enfant' et qui sont associées aux polynômes complexes classifiés par l'espace de polynômes. Cette décomposition de l'espace de polynômes fournit une stratification semi-algébrique. Le nombre de composantes connexes de chaque strate est calculé dans le dernier chapitre ce cette thèse. Néanmoins, cette partition ne fournit pas immédiatement un recouvrement adapté au calcul de la cohomologie de Čech (avec n'importe quels coefficients) pour deux raisons liées et évidentes: d'une part les sous-ensembles du recouvrement ne sont pas ouverts, et de plus ils sont disjoints puisqu'ils correspondent à différentes signatures. Ainsi, l'objectif principal du chapitre 6 est de ''corriger'' le recouvrement de départ afin de le transformer en un bon recouvrement ouvert, adapté au calcul de la cohomologie Čech. Cette construction permet ensuite un calcul explicite des groupes de cohomologie de Čech à valeurs dans un faisceau localement constant.