On the interface between physical systems and mathematical models : study of first-passage properties of fractional interfaces and large deviations in kinetically constrained models

par Arturo Leos Zamorategui

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Vivien Lecomte.

Le président du jury était Leticia F. Cugliandolo.

Le jury était composé de Vivien Lecomte, Leticia F. Cugliandolo, Juan Garrahan, Alberto Rosso, Satya Majumdar.

Les rapporteurs étaient Juan Garrahan, Alberto Rosso.

  • Titre traduit

    A l’interface entre systèmes physiques et modèles mathématiques : propriétés de premier passage d’interfaces fractionnaires et grandes déviations de modèles cinétiquement contraints


  • Résumé

    La thèse décrit les propriétés d’équilibre et hors d’équilibre de modèles mathématiques stochastiques de systèmes physiques. À l’aide de simulations numériques, on étudie les fluctuations des différentes quantités mais on s’interesse aussi aux grands déviations dans certains systèmes. La première partie de la thèse se concentre sur l’étude des interfaces rugueuses observées dans des processus de croissance. Ces interfaces sont simulées avec des nouvelles techniques de programmation en parallèle qui nous permettent d’accéder à des systèmes de très grande taille. D’une part, on discute le cas diffusif, représenté par l’équation d’Edward-Wilkinson dans des interfaces périodiques, pour lequel on obtient une solution exacte de l’équation discrète dans l’espace de Fourier. Avec cette solution on déduit le facteur de structure associé aux amplitudes des modes et l’expression exacte est comparée avec les valeurs numériques. De plus, on fait le lien entre les propriétés de premier passage des interfaces et le mouvement Brownien. On mesure la distribution des longueurs des intervalles et on compare les résultats avec une version modifiée du théorème de Sparre-Andersen. D’autre part, on étudie le cas général qui inclut les cas sous-diffusif et superdiffusif avec des conditions de bord périodiques. On étudie pour ces interfaces fractionnaires des propriétés de premier passage liées aux zéros des interfaces. Dans l’état stationnaire, on étudie également les premiers cumulants et propriétés d’échellement de la longueur des intervalles et de la densité de zéros. De plus, on mesure la largeur typique de l’interface et ses propriétés d’échellement. Finalement, on analyse le comportement de ces observables dans les interfaces hors d’équilibre et on discute leur dépendance en la taille du système. On discute également les conditions de stabilité des solutions del’équation discrète, importantes pour les simulations des interfaces. Dans une deuxième partie, on étude la transition de phase dynamique dans des modèles cinétiquement contraints afin d’étudier la transition vitreuse observée dans des verres structuraux. Pour un modèle en dimension un, on étudie la géométrie spatio-temporelle des bulles d’inactivité qui caractérisent les hétérogénéités dynamiques observées dans les verres. On trouve que les directions spatiales et temporelles des bulles ne sont pas liées par un comportement diffusif. En contraste, on confirme l’échellement de l’aire et d’autres quantités attendues pour un système, a priori diffusif. De plus, grâce à la théorie des grandes déviations et l’algorithme de clonage, on identifie la transition de phase dynamique dans des systèmes en deux dimensions spatiales. D’abord on mesure l’énergie libre dynamique pour différentes valeurs du paramètre λ. Après, on conjecture des valeurs critiques λ c = Σ/K, avec Σ la tension surface d’une ı̂le de sites actifs entourée par des sites inactifs dans un modèle effectif et K l’activité moyenne du système, pour laquelle la transition de phase a lieu dans la limite de taille infinie. En mesurant l’activité du système et le nombre d’occupation, on observe la dépendance de ces observables avec la taille des systèmes étudiés loin de la transition. Finalement, on mesure la propagation du front des sites actifs dans tout les systèmes. Pour l’un des systèmes étudiés, on identifie une vitesse balistique du front qui nous permet d’observer la transition de phase d’un point de vue dynamique.


  • Résumé

    This thesis investigates both equilibrium and nonequilibrium properties of mathematical stochastic models that as a representation of physical systems. By means of extensive numerical simulations we study mean quantities and their fluctuations. Nonetheless, in some systems we are interested also in large deviations. The first part of the thesis focuses on the study of rough interfaces observed in growth processes. These interfaces are simulated with state-of-the-art simulations based on parallel computing which allow us to study very large systems. On the one hand, we discuss the diffusive case given by the Edward-Wilkinson equation in periodic interfaces. For the discrete version of such an equation, we obtain an analytic solution in Fourier space. Fur-ther, we derive an exact expression of the structure factor related with the modes amplitudes describing the interface and compare it with the numerical values. Moreover, using a mapping between stationary interfaces and the Brownian motion, we relate the distribution of the intervals generated by the zeros of the interface with the first-passage distribution given by a the Sparre-Andersen theorem in the case of the Brownian motion. As a generalization of the results obtained in the diffusive case, we study a linear Langevin equation with a Riesz-Feller fractional Laplacian of order z used to simulate sub- and super-diffusive interfaces. In this general case, we identify three regimes based on the scaling behaviour of the cumulants of the intervallengths, the density of zeros and the width of the interface. Finally, we study the evolution in time of some of the observables introduced before. In the second part of the thesis, we study the dynamical phase transition in kinetically constrained models (KCMs) in order to get some insight on the glass transition observed in structural glasses. In a one-dimensional KCM we study the geometry of the bubbles of inactivity in space-time for systems at different temperatures. We find that the spatial length of the bubbles does not scale diffusively with its temporal duration. In contrast, we confirm a vidiffusive behaviour for other quantities studied. Further, by means of large deviation theory and cloning algorithms, we identify the dynamical phase transition in two-dimensional systems. To start with, we measure numerically the dynamical free energy both by measuring the largest eigenvalue of the evolution operator,for small systems, and via the cloning algorithm, for larger systems. We conjecture a value λ c = Σ/K, with Σ the surface tensionof a bubble of activity surrounded by a sea of inactive sites in an effective interfacial model and K the mean activity of the system, for each of the systems studied. For the activity of the system and the occupation number we discuss their scaling properties far from the phase transition. Starting from an empty system subject to different boundary conditions, we investigate the front propagation of active sites. We argue that the phase transition in this case can be identified by the abrupt slowing-down of the front. This is done by measuring the ballistic speed of the front in the simplest case studied. Finally, we propose an effective model following the Feynman-Kac formula for a moving front.-proprietés de premier passage, interface rugueuse, diffusion fractionnaire , système hors d'équilibre, transition de phase dynamique, modèle cinétiquement contraint, grandes déviations.-first-passage properties, rough interface, fractional diffusion, out-of-equilibrium system, dynamical phase transition, kinetically constrained model, large deviations


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