Ordinary and modular characters for normal inclusions of finite groups : Application to alternating, special linear and unitary groups

par David Denoncin

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Marc Cabanes.

Soutenue le 14-12-2017

à Sorbonne Paris Cité , dans le cadre de École doctorale de Sciences mathématiques de Paris Centre (Paris) , en partenariat avec Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (équipe de recherche) et de Université Paris Diderot - Paris 7 (établissement de préparation) .

Le président du jury était Meinolf Geck.

Le jury était composé de Marc Cabanes, Meinolf Geck, Nicolas Jacon, Olivier Brunat, Ivan Marin, Karine Sorlin.

Les rapporteurs étaient Meinolf Geck, Nicolas Jacon.

  • Titre traduit

    Liens entre caractères ordinaires et modulaires de groupes et sous-groupes distingués


  • Résumé

    Dans cette thèse nous nous intéressons aux liens qui existent entre les théories des caractères ordinaires et modulaires de différents groupes finis. Nous nous sommes concentré principalement sur deux moyens d’établir de tels liens : l’utilisation de matrices de décompositions et l’étude d’une conjecture de comptage qu’est la conjecture d’Alperin-McKay. Nous étudions alors ces lien ssur des exemples proches des groupes symétriques et des groupes linéaires sur un corps finis.Nous complétons en particulier la démonstration d’une version inductive de la conjecture d’Alperin-McKay, énoncée en 2013 par Späth, pour les groupes alternés. Ceci constitue un élément nécessaire dans l’espoir d’obtenir une preuve de cette conjecture en utilisant la classification des groupes finis simples. Ce travail a mis en évidence des liens forts au sein de la théorie des caractères d’extensions centrales du groupe symétrique. Ces liens se manifestent cette fois sous la forme d’isométries parfaites entre des 2-blocs de même poids. Nous avons alors entrepris de vérifier sur des cas explicites ces liens en codant, avec le logiciel GAP4, la combinatoire sous-jacente à la théorie des caractères de ces extensions centrales. Nous énonçons alors, sous la forme d’une conjecture, un résultat d’existence d’isométries parfaites.L’étude des matrices de décomposition d’union de blocs d’un groupe fini nous amène à chercher un ensemble basique unitriangulaire pour ces unions de blocs. Si de plus un groupe d’automorphismes agit sur les caractères de cet ensemble basique, on cherche naturellement à ce que cet ensemble basique soit stable pour cette action. En supposant que l’on dispose d’un ensemble basique unitriangulaire et stable, nous démontrons un résultat général permettant d’obtenir pour un sous-groupe normal un ensemble basique vérifiant les mêmes propriétés, et ce simplement par restriction des caractères. Signalons que ce résultat se limite aux cas où les caractères sont sans multiplicité, mais que cette condition est vérifiée dans de nombreux cas utiles en pratique. Nous appliquons alors notre résultat dans le cadre des groupes spéciaux linéaires et unitaires finis et démontrons donc que ces groupes possèdent un ensemble basique unitriangulaire stable pour l’action des automorphismes.Ceci généralise et étend un résultat de Kleshchev et Tiep de 2008 concernant le groupe spécial linéaire fini : nous trouvons un ensemble basique différent du leur qui lui est stable pour l’action des automorphismes.L’utilisation d’outils plus récents comme la théorie de Deligne-Lusztig nous permet d’appliquer la même méthode pour obtenir le même résultat pour les groupes spéciaux unitaires finis.


  • Résumé

    In this thesis we study relationships between ordinary and modular character theory of several classes of finite groups. We focused mainly on two tools: decomposition matrices and the study of the Alperin-McKay counting conjecture. We study those on groups closely related to symmetric and finite general linear groups.We finish the verification of an inductive version of the Alperin-McKay conjecture, stated in $2013$ by Sp\"ath, for alternating groups. This work is necessary if one wishes to obtain a full proof of the Alperin-McKay conjecture using the classification of finite simple groups. Moreover it has underlined strong links between characters of double covers of symmetric groups. Those links appear in the form of perfect isometries between $2$-blocks of same weight. We verified on explicit cases that such isometries exist by coding the combinatorics behind the character theory of these groups using GAP4. We then state as a conjecture the existence of perfect isometries.The study of decomposition matrices of union of blocks of a finite group leads to the search of a unitriangular basic set for those blocks. If moreover a group of automorphisms acts on the characters, we naturally look for a stable basic set. Assuming that we have one, we prove a general theorem allowing one to obtain, by restriction of characters, a stable unitriangular basic set for a normal subgroup. We note that our theorem holds only in the case of multiplicity-free characters, a condition that is adapted for numerous applied cases. We apply our result in the case of special linear and unitary groups which allows us to prove that these groups possess a unitriangular basic set that is stable under the action of automorphisms. This result generalises and extends a theorem of Kleshchev and Tiep from $2008$ regarding finite special linear groups: we find a different unitriangular basic set which is now stable under the action of automorphisms. We use more modern tools such as Deligne-Lusztig theory which allows us to apply the same method to obtain the result for special unitary groups.


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