Des équations de contrainte en gravité modifiée : des théories de Lovelock à un nouveau problème de σk-Yamabe

On the constraint equations in modified gravity

• Auteur / Autrice : Xavier Lachaume
• Direction : Emmanuel Humbert, Loïc Villain
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 15/12/2017
• Etablissement(s) : Tours
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Laboratoire de mathématiques et physique théorique (Tours ; 1996-2017)
• Jury : Président / Présidente : Cédric Deffayet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Philippe Nicolas, Philippe Le Floch, Erwann Delay, Cédric Lecouvey
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Philippe Nicolas, Philippe Le Floch

Mots clés

Mots clés contrôlés

Symétrie (physique)

Fonctions concaves

Einstein, Équations du champ d'

Formalisme (mathématiques)

Polynômes

Champs scalaires

Cauchy, Problème de

Mots clés libres

Relativité Générale

Équations de contrainte

Problème de Cauchy

''ƒ(R)''

Tenseur-scalaire

Lovelock

''ƒ(Lovelock)''

''σk-Yamabe''

Polynômes symétriques élémentaires

Concavité

General Relativity

Constraint equations

Cauchy problem

''ƒ(R)''

Scalar-tensor

Lovelock

''ƒ(Lovelock)''

''σk-Yamabe''

Elementary symmetric polynomials

Concavity

Résumé

Cette thèse est consacrée au problème d’évolution des théories de gravité modifiée : après avoir rappelé ce qu’il en est pour la Relativité Générale (RG), nous exposons le formalisme n + 1 des théories ƒ(R), Brans-Dicke et tenseur-scalaire et redémontrons un résultat connu : le problème de Cauchy est bien posé pour ces théories, et les équations de contrainte se réduisent à celles de la RG avec un champ de matière. Puis nous effectuons la même décomposition n + 1 pour les théories de Lovelock et, ce qui est nouveau, ƒ(Lovelock). Nous étudions ensuite les équations de contrainte des théories de Lovelock et montrons qu’elles sont, dans le cas conformément plat et symétrique en temps, la prescription d’une somme de σk-courbures. Afin de résoudre cette équation de prescription, nous introduisons une nouvelle famille de polynômes semi-symétriques homogènes et développons des résultats de concavité pour ces polynômes. Nous énonçons une conjecture qui, si elle était avérée, nous permettrait de résoudre l’équation de prescription dans de nombreux cas : ∀ P;Q ∈ ℝ[X], avec deg P = deg Q = p, P et Q sont scindés => p ∑ k=0 P(k) Q(p-k) est scindé

This thesis is devoted to the evolution problem for modified gravity theories. After having explained this problem for General Relativity (GR), we present the n + 1 formalism for ƒ(R) theories, Brans-Dicke and scalar-tensor theories. We recall a known result: the Cauchy problem for these theories is well-posed, and the constraint equations are reduced to those of GR with a matter field. Then we proceed to the same n+1 decomposition for Lovelock and ƒ(Lovelock) theories, the latter being an original result. We show that in the locally conformally flat timesymmetric case, they can be written as the prescription of a sum of σk-curvatures. In order to solve the prescription equation, we introduce a new family of homogeneous semisymmetric polynomials and prove some concavity results for those polynomials. We express the following conjecture: if this is true, we are able to solve the prescription equation in many cases. ∀ P;Q ∈ ℝ[X], avec deg P = deg Q = p, P and Q are real-rooted => p ∑ k=0 P(k) Q(p-k) is real-rooted: