Statistical inference of Ornstein-Uhlenbeck processes : generation of stochastic graphs, sparsity, applications in finance

par Gustaw Matulewicz

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Emmanuel Gobet et de Stéphane Gaïffas.

Soutenue le 15-12-2017

à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....) , en partenariat avec École polytechnique (Palaiseau, Essonne) (Établissement opérateur d'inscription) et de Centre de mathématiques appliquées-CMAP [Palaiseau, Essonne] (laboratoire) .

Le président du jury était Mathieu Rosenbaum.

Le jury était composé de Emmanuel Gobet, Stéphane Gaïffas, Mohamed Ben Alaya, Sylvain Delattre.

Les rapporteurs étaient Marina Kleptsyna, Markus Reiß.

  • Titre traduit

    Inférence statistique de processus d'Ornstein-Uhlenbeck : génération de graphes stochastiques, sparsité, applications en finance


  • Résumé

    Le sujet de cette thèse est l'inférence statistique de processus d'Ornstein-Uhlenbeck multi-dimensionnels. Dans une première partie, nous introduisons un modèle de graphes stochastiques définis comme observations binaires de trajectoires. Nous montrons alors qu'il est possible de déduire la dynamique de la trajectoire sous-jacente à partir des observations binaires. Pour ceci, nous construisons des statistiques à partir du graphe et montrons de nouvelles propriétés de convergence dans le cadre d'une observation en temps long et en haute fréquence. Nous analysons aussi les propriétés des graphes stochastiques du point de vue des réseaux évolutifs. Dans une deuxième partie, nous travaillons sous l'hypothèse d'information complète et en temps continu et ajoutons une hypothèse de sparsité concernant le paramètre de textit{drift} du processus d'Ornstein-Uhlenbeck. Nous montrons alors des propriétés d'oracle pointues de l'estimateur Lasso, prouvons une borne inférieure sur l'erreur d'estimation au sens minimax et démontrons des propriétés d'optimalité asymptotique de l'estimateur Lasso Adaptatif. Nous appliquons ensuite ces méthodes pour estimer la vitesse de retour à la moyenne des retours journaliers d'actions américaines ainsi que des prix de futures de dividendes pour l'indice EURO STOXX 50.


  • Résumé

    The subject if this thesis is the statistical inference of multi-dimensional Ornstein-Uhlenbeck processes. In a first part, we introduce a model of stochastic graphs, defined as binary observations of a trajectory. We show then that it is possible to retrieve the dynamic of the underlying trajectory from the binary observations. For this, we build statistics of the stochastic graph and prove new results on their convergence in the long-time, high-frequency setting. We also analyse the properties of the stochastic graph from the point of view of evolving networks. In a second part, we work in the setting of complete information and continuous time. We add then a sparsity assumption applied to the drift matrix coefficient of the Ornstein-Uhlenbeck process. We prove sharp oracle inequalities for the Lasso estimator, construct a lower bound on the estimation error for sparse estimators and show optimality properties of the Adaptive Lasso estimator. Then, we apply the methods to estimate mean-return properties of real-world financial datasets: daily returns of SP500 components and EURO STOXX 50 Dividend Future prices.


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