Birational invariants : cohomology, algebraic cycles and Hodge theory cohomologie

par Rene? Mboro

Thèse de doctorat en Math?matiques fondamentales

Sous la direction de Claire Voisin.

Soutenue le 06-10-2017

à Paris Saclay , dans le cadre de ?cole doctorale de math?matiques Hadamard (Orsay, Essonne) , en partenariat avec ?cole polytechnique (Palaiseau, Essonne) (?tablissement op?rateur d'inscription) et de Centre de math?matiques Laurent Schwartz (Palaiseau, Essonne) (laboratoire) .

Le président du jury était Olivier Debarre.

Le jury était composé de Claire Voisin, Charles Favre, Javier Fres?n.

Les rapporteurs étaient Marcello Bernardara.

  • Titre traduit

    Invariants birationnels : cycles alg?briques et th?orie de Hodge


  • Résumé

    Dans cette th?se, nous ?tudions certains invariants birationnels des vari?t?s projectives lisses, en lien avec les questions de rationalit? de ces vari?t?s. Elle se compose de trois chapitres qui peuvent ?tre lus ind?pendamment.Dans le premier chapitre, nous ?tudions, pour certaines familles de vari?t?s, certains invariants birationnels stables, nuls pour l'espace projectif, apparaissant naturellement avec les formules de Manin. D'une part, nous montrons que l'invariant birationnel qu'est le groupe des cycles de torsion de codimension 3 contenus dans le noyau de l'application classe de cycle de Deligne est pour, les hypersurfaces cubiques complexes de dimension 5, contr?l? par l'invariant birationnel de sa vari?t? des droites donn? par le groupe des 1-cycles de torsion contenus dans le noyau de l'application classe de cycle de Deligne. D'autre part on ?tablit la nullit? du groupe de Griffiths des 1-cycles pour la vari?t? des droites d'une hypersurface de l'espace projectif sur un corps alg?briquement clos de caract?rsitique 0, lorsque celle-ci est lisses et de Fano d'indice au moins 3.Les deux derniers chapitres se concentrent sur des aspects diff?rents d'une propri?t? invariante par ?quivalence birationnelle stable introduite r?cemment par Voisin: l'existence d'une d?composition de Chow de la diagonale. Dans le second chapitre, nous ?tendons ? la caract?ristique positive p > 2 une partie des r?sultats obtenus par Voisin sur la d?composition de Chow de la diagonale des hypersurfaces cubiques complexes de dimension 3.Dans le dernier chapitre, on ?tudie la notion de dimension CH0 essentielle introduite par Voisin et reli?e ? l?existence d?une d?composition de Chow de la diagonale en ce que dire d?une vari?t? qu?elle est de dimension CH0 essentielle nulle ?quivaut ? affirmer l?existence d?une d?composition de Chow de sa diagonale. Nous pr?sentons des conditions suffisantes (et n?cessaires) pour assurer qu?une vari?t? complexe dont le groupe des 0-cycle est trivial et dont la dimension CH_0 essentielle est au plus 2 est de dimension CH_0 essentielle nulle.


  • Résumé

    In this thesis, we study some birational invariants of smooth projective varieties, in view of rationality questions for these varieties. It consists of three parts, that can be read independently.In the first chapter, we study, for some families of varieties, some stable birational invariants, that vanish for projective space and that appear naturally with Manin formulas. On one hand, we show for complex cubic 5-folds that the birational invariant given by the group of torsion codimension 3 cycles annihilated by the Deligne cycle map is controlled by the group of torsion 1-cycles of its variety of lines annihilated by the Deligne cycle map. We also prove that the Griffiths group of 1-cycles for the variety of lines of a hypersurface of the projective space over an algebraically closed field of characteristic 0, is trivial when the variety is smooth and Fano of index at least 3.The two last chapters focus on different aspects of the Chow-theoretic decomposition of the diagonal, a property which is invariant under stable birational equivalence, recently introduced by Voisin. In the second chapter, we adapt in characteristic greater than 2, part of the results, obtained by Voisin over the complex numbers, on the decomposition of the diagonal of cubic threefolds.In the last chapter, we study the concept of essential CH_0-dimension introduced by Voisin and related to the decomposition of the diagonal in that having essential CH_0-dimension 0 is equivalent to admitting a Chow-theoretic decomposition of the diagonal. We give sufficient (and necessary) conditions, for a complex variety with trivial group of 0-cycles, having essential CH_0-dimension non greater than 2 to admit a Chow-theoretic decomposition of the diagonal.


Il est disponible au sein de la bibliothèque de l'établissement de soutenance.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : École polytechnique. Bibliothèque Centrale.
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.